Пример выполнения. Рассмотрим процесс расчета профиля концентрации вещества по пространственной и временной координате для объекта

Рассмотрим процесс расчета профиля концентрации вещества по пространственной и временной координате для объекта, описываемого следующим уравнением:

,

где С – концентрация вещества; D – коэффициент диффузии; t – время; x – пространственная координата.

Начальные условия:

Граничные условия:

,

Расчет проведем в среде Mathcad.

1. Сначала зададим исходные данные для расчета:

–коэффициент диффузии,

– начальная концентрация,

– начальное значение пространственной координаты,

– конечное значение пространственной координаты,

– шаг дискретизации по пространственной координате.

2. Выбираем шаг дискретизации по времени так, чтобы выполнялось условие устойчивости явной разностной схемы:

– шаг дискретизации по времени,

– начальное время,

– конечное время,

3. Рассчитываем количество точек разбиения временного и пространственного интервалов для метода сетки:

,

– для временного интервала,

,

– для пространственного интервала.

4. Рассчитаем массивы временного и пространственного интервалов (индекс k – порядковый номер элементов в массиве пространственной координаты, индекс n – порядковый номер элементов в массиве времени):

5. Используя инструменты программирования Mathcad, составим функцию, реализующую расчет профиля концентраций по явной разностной схеме:

6. Осуществим вызов данной функции и возврат её результатов в массив C:

7. Выведем на экран содержимое массивов x, t и C. Для этого после имени массива поставим знак «=».

8. Представим полученную зависимость концентрации от времени и длины в виде объемного графика (рис. 105):

Рис. 105. Изменение концентрации по времени и длине

9. Представим распределение концентрации в конкретных сечениях (длина фиксирована) по времени (рис. 106):

Рис. 106. Изменение концентрации по времени

10. Представим распределение концентрации в конкретные моменты времени в сечениях (время фиксировано) по длине (рис. 107):

Рис. 107. Изменение концентрации по длине

11. Проведем анализ полученных результатов с точки зрения физического смысла.

Рассмотрим процесс изменения концентрации во времени в нескольких выбранных сечениях:

- на одной границе (x =0) концентрация постоянна, что соответствует первому граничному условию;

- на другой границе (x = L) градиент концентраций отсутствует, т. к. значения рассчитанных концентраций в двух последних сечениях (при x = L и x = L – dx) равны, что соответствует второму граничному условию;

- во всех сечениях происходит увеличение концентрации со временем (рис. 106), т. к. происходит поступление вещества внутрь объекта через его границу благодаря диффузии, причем в сечениях, близких к границе x = L, концентрация увеличивается значительно позже, чем в сечениях, близких к границе x =0.

Рассмотрим процесс изменения концентрации по длине в определенные моменты времени:

- в начальный момент времени (t =0) концентрация в объекте равна нулю во всех сечениях, за исключением границы x =0, что соответствует начальному условию;

- в любой из рассматриваемых моментов времени (рис. 107) концентрация на границе x =0 превышает концентрацию на границе x = L, но чем больше проходит времени, тем меньше становится разница концентраций, что говорит о постепенном проникновении вещества внутрь объекта.

Таким образом, проведенный анализ результатов, представленных в виде таблиц и графиков, показывает, что результаты соответствуют физическому смыслу задачи.