Явная разностная схема

Рассмотрим исходное уравнение (165) в n -й момент времени в k -ой точке пространства. Тогда правая часть уравнения (165) – первая частная производная по времени будет представлена так:

. (171)

Поскольку производная по времени, поэтому изменяется индекс n.

Вторая частная производная в сеточной области определяется как отношение разности 1-х производных по длине шага сетки.

. (172)

С помощью этих равенств производная с 1-м порядком точности относительно шага Dt и частная производная со 2-м порядком точности относительно шага Dx аппроксимируется в конечно-разностные отношения.

Производим замену в уравнении (165).

. (173)

. (174)

Из (174) видно, что по значению функции c(x, t) в точках n -го временного слоя можно вычислить значение функции c(x, t) в точках n+ 1 временного слоя, т. е. мы имеем явную схему (рис. 104).

Рис. 104. Явная схема

Значение c(x, t) при t=0 определяется из начальных условий: для (нижняя граница сетки).

Значение функции с(x, t) в крайних узлах при х =0 и х = L определяется из краевых условий:

1. для (левая граница сетки).

2. Для расчета концентраций в сеточной области также необходимо знать C_Kⁿ – концентрацию на границе (L) (концентрацию на парвом конце сетки), которая вычисляется из граничного условия:

,

откуда следует, что

.

Последовательно вычисляя С (x_к, t ¹) для , затем C (x_к, t ²) для и т. д. до C (x_к, t^N) получим профиль концентраций в произвольный момент времени в произвольной точке пространства.

Таким образом, уравнение (174) представляет собой систему уравнений, которая рассчитывается раз:

(175)