Решение уравнений в частных производных

Уравнение вида

(159)

называется уравнением в частных производных 1-го порядка.

Если решение обыкновенных дифференциальных уравнений является функцией одной переменной, представляющей собой кривые на плоскости y–x, то решение дифференциального уравнения в частных производных представляет собой криволинейные поверхности в 3-х мерном пространстве (t, x, y). При этом численное решение рассматриваемого уравнения представляет собой табличное задание функции y(t, x).

t	x	y
t 0	x 0	y 0
t 1	x 1	y 1
. . .	. . .	. . .
t n	x n	y n

Многие задачи механики, аэродинамики, химической технологии приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений с частными производными, которые в настоящее время составляют одну из наиболее быстро развивающихся отраслей численного анализа. Кроме того, возможности современных ЭВМ позволяют ставить такие задачи, решение которых просто немыслимо без использования вычислительных машин.

Нельзя сказать, что аналитический подход к решению задачи полностью утратил свое значение. Он остается необходимым и очень мощным инструментом изучения упрощенных, так называемых модельных задач. Изучение хорошо подобранной модельной задачи позволяет делать некоторые заключения о характере поведения решения неупрощенной, исходной задачи.

Мы будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с двумя неизвестными (независимыми) переменными, которые можно записать в виде:

, (160)

где A, B, C, D, E, G, F – являются только функциями от независимых переменных (х, у), что удовлетворяет условию линейности уравнения (160).

Уравнение (160) подразделяется на три типа, в зависимости от знака определителя, состоящего из элементов уравнения:

При АС – В²< 0 уравнение (160) называется гиперболическим, при АС – В² = 0 – параболическим, при АС-В² > 0 – эллиптическим. Рассмотрим простейшие уравнения всех выше указанных типов.

Гиперболический тип. Волновое (гиперболическое) уравнение описывает поперечные колебания струи, продольное колебание стержня, электрические колебания в проводе, колебания газа и т. д. имеет вид:

, (161)

где а² – скорость распространения волны в данной среде;

t, x – координаты.

 

 

Параболический тип. Уравнение теплопроводности-диффузии (параболический тип) описывающее процессы распределения тепла в пространстве, фильтрации жидкости и газа в средах, диффузии в различных средах и т. д. имеет вид:

, (162)

где а² – коэффициент теплопроводности (диффузии), характеризующий скорость распространения тепла (вещества) в пространстве вдоль направления х.

Эллиптический вид (уравнение Лапласа). Уравнением такого типа описывают стационарное тепловое состояние объекта, гидродинамику процессов диффузии, оно имеет следующий вид:

. (163)

В уравнениях (161)–(163) искомая функция u(t, x) зависит лишь от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения для функций с большим числом переменных, например уравнение теплопроводности–диффузии:

, (164)

описывающее распространение тепла вещества в пространстве, т. е. в результате решения мы получим u(t, x, y, z).