Условия устойчивости явной разностной схемы

Для того чтобы решение по явной разностной схеме было устойчиво, необходимо выбирать интервалы дискретизации из следующего условия:

.

Конечно-разностная схема называется устойчивой, если погрешности, допущенные в процессе вычислений, затухают или остаются малыми при увеличении номера текущего слоя. Рассмотрим условия устойчивости явной разностной системы на примере уравнения диффузии:

.

Будем искать решение в следующем виде.

где А – const, f = – w ², .

Отметим, что e^iwx =cos(wx)+i× sin(wx), т. е. физически решением уравнения являются функции, которые представляют собой волны, графиком которых являются кривые (гармоники), затухающие при t ®¥.

Рассмотрим конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие исходное дифференциальное уравнение.

.

Очевидно, что затухание гармоник во времени должно иметь место и для разностного уравнения.

Решение данного уравнения будем искать в виде:

,

где: tⁿ =(n -1)D t,

x_k =(k -1)D x.

Если положить

, то

.

Следовательно, при происходит затухание гармоники во времени, т. е. процесс решения устойчив. Если ê S ê > 1, то происходит потеря устойчивости решения. Для конечно-разностного уравнения, подставив формулу предполагаемого решения, получим:

Разделим левую и правую части уравнения на:

G = AS ^n-1 e ^iw(k-1)Dx, получим:

.

Рассмотрим

следовательно,

,

.

Для устойчивости вычислительной схемы достаточно потребовать, чтобы ê S ê £ 1, т. е.

Правое неравенство выполняется всегда.

.

 

Рассмотрим случай, когда sin принимает максимально возможное значение – 1:

Для получения устойчивого решения уравнения, сначала задаются одним из параметров (например, величиной Dх) и затем, исходя из полученного условия определяется величина другого значения Dt.