Задания. Задачи, описываемые уравнением вида

Задачи, описываемые уравнением вида

Вариант 1. Растворенное вещество с начальной концентрацией с ₀(0, 5 моль/дм³) диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями х=0 и х=h. Определить процесс выравнивания концентраций, предполагая, что границы х=0 и х=l непроницаемы для вещества. Расстояние между h и l принять равным единице. Коэффициент диффузии взять равным 10^-3см²/с. Конечное время процесса t_k = 20c.

Начальные и граничные условия примут вид:

Вариант 2. Сосуд высотой h = 1 см заполнен раствором соли, концентрация которой 100 моль /дм³. Он погружен в емкость с большим количеством воды так, что открытый край сосуда находится непосредственно под поверхностью воды и находится с нею в соприкосновении. Граничные условия:

Найти распределение концентрации соли в любой момент времени (t_k = 5 с; D = 10^-2 см²/с).

Вариант 3. Плоская керамическая плита толщиной 4 см подвергается сушке с двух сторон. Начальное содержание влаги с = 0, 5 г/см³. Распределение внутри массы происходит за счет молекулярной диффузии (D = 0, 25 см²/ч). Известно, что при данных условиях сушки процесс протекает за период постоянной скорости сушки со скоростью 0, 1 г/(ч•см²) воды до тех пор, пока поверхностное содержание влаги остается выше 0, 22 г/см³.

Установить продолжительность периода постоянной скорости сушки, количество испарившейся влаги и распределение влаги внутри пластины к концу периода постоянной сушки. Площадь поверхности плиты 1 м². t_k = 15 ч; = 0, 5 г/см³.

Граничные условия: .

 

Задачи, описываемые уравнением вида

Вариант 4. Дан тонкий однородный стержень длиной 50 см, начальная температура которого равна нулю. На конце х=l температура поддерживается равной нулю, а ни конце х= 0 она растет линейно от времени по закону Т(t, 0 ) = a·t (а = 20). Найти распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени. Конечное время t_k =10 с. Коэффициент температуропроводности α ² взять равным 0, 1 м²/с.

Вариант 5. Условие такое же, как в варианте 4, нограничное условие конце х= 0 имеет вид:

T (t, 0) = (w = 0, 5).

Вариант 6. Дана бесконечная пластина стали толщиной 0, 3 м, имеющая начальную температуру 700 °С. Наружные плоскости её мгновенно охлаждаются и их температура поддерживается равной 100 °С. Требуется определить значение температуры в среднем сечении, параллельном наружным плоскостям, по истечении 15 мин.

Плотность стали γ = 7800 кг / м³; удельная теплоемкость стали с = 460 Дж/(кг•°С); коэффициент теплопроводности λ = 45, 4 Вт/(м•°С). Коэффициент температуропроводности α ² определяется как .

Вариант 7. Дан тонкий однородный стержень длиной 1 м, боковая поверхность которого теплоизолирована. Начальная температура стержня 100 °С. Конец стержня х= 0поддерживается при температуре, равной нулю, а на конце х=l происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой считается равной нулю. Определить распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени.

Граничные условия на одном конце , а на конце где происходит теплообмен , А =1, 9. Коэффициент температуропроводности α ² принять равным 1, 9× 10^-2 м²/с, а конечное время 6 с.

Вариант 8. Решить задачу 7, предполагая, что теплообмен с окружающей средой происходит на обоих концах.

Вариант 9. Получить численное решение уравнения

с начальным условием и граничными условиями:

А =5, 0; a =1; H =0, 35; t_k =30 с; a² =0, 064 м²/мин; L =1 м.

Вариант 10. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура T ½ _{t =0} = 1500 °С, один конец теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной температуре T₀ =0 °С. t_k =1 ч; a² =0, 036 м²/ч; L =1 м.

Граничные условия:

Задачи, описываемые уравнениями вида

.

Вариант 11. Растворимый газ взаимодействует с жидкостью или с растворенным в ней веществом. Скорость расходования газа определяется реакцией первого порядка k·C_A. Уравнение, описывающее процесс растворения газа, имеет вид:

, а начальные и граничные условия

Константа скорости химической реакции k = 0, 1 с^-1; t_k = 20 с; D = 10^-2 см²/с. Определить профиль концентраций в жидкой фазе в любой момент времени. Толщина пленки жидкости 1 см. (С_A⁰ = 0, 5 моль/дм^З).

Задачи, описываемые уравнениями вида

или .

Если λ =2, имеем шар, если λ =1, имеем цилиндр.

Вариант 12. Дан однородный шар радиуса R =5 см при температуре, равной нулю. Шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком q = 500 ккал/(м²× ч) (1 кал=4, 187 Дж). Найти распределение температуры по радиусу шара в любой момент времени.

Начальные и граничные условия:

(k = 0, 91 Вт/(м²·°С); a ² = 0, 04 м²/ч; t_к = 2 мин).

Вариант 13. Диффузионной средой является цилиндр радиуса R =10 см, на поверхности которого постоянная концентрация с ₀=0, 1 моль/дм³. Вначале среда свободна от растворенного вещества. Найти распределение концентрации вещества по радиусу цилиндра в любой момент времени (D = 0, l см²/с; t_k = 10 с).

Начальные и граничные условия:

.

Вариант14. Однородный шар радиуса R =50 см находится при постоянной температуре Т ₀=300°С и окружен сферической оболочкой из того же материала толщиной R, находящейся при температуре, равной 0 °С. Все это охлаждается в среде с температурой, равной нулю. Найти температуру в точках внутри шара на расстоянии r от центра в любой момент времени (α ² = 0, 01 м²/ч; t_к = 0, 5 ч). Граничные условия для центра шара:

.

Вариант 15. Сфера радиуса R = 2 см содержит растворенное вещество с начальной концентрацией С₀ = 0, 1 моль/дм^З. Концентрация на поверхности сферы поддерживается постоянной и равной 1 моль/дм³. Найти количество абсорбированного вещества в шаре через 10 мин. (D = 10^-2 см²/с).

Граничные условия в центре шара: .

Вариант 16. Найти распределение температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса R = 5 cм при условии, что начальная температура равна , при Т⁰= 50 °С, а на боковой поверхности температура поддерживается равной нулю (а ²= 0, 1 см²/с; t_k = 50 с).

Граничное условие для центра цилиндра: .

Вариант17. Дан однородный шар радиуса R =20 см. Известна начальная температура шара T₀ =100 °С. Внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Найти распределение температуры по радиусу шара в любой момент времени (а ²=0, 1 м²/ч; t_k = 3 мин).

Граничное условие в центре шара: .