Расчетные усилия

M ₁₀ = 343 кН× м; N ₁₀ = -461 кН; M ₅₀ = -477 кН× м; M ₅₀ = -449 кН.

Предварительноеопределениепоперечныхразмеровсеченияарок

Рис. 44. Эпюры изгибающих моментов в арке от расчетных нагрузок и от их сочетания

а) постоянной (собственный вес арки); б) снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; в) снеговой, равномерно распределенной на половине пролета; г) снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета; 1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)

Рис. 45. Эпюры нормальных (N) и поперечных (Q) сил в арке от сочетания расчетных нагрузок

1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)

Подборсеченияарки

Предварительное определение размеров поперечного сечения арок производим по СНиП II-25-80, п. 4.17, формула (28):

N / F _расч + M _д/ W _расч ≤ R _с.

Приняв h / b = β, получим

h ³ - β Nh / R _с- 6β M /(ξ R _с) = 0. (47)

Уравнение (47) приводим к виду

h ³ + 3 ph + 2 q = 0, (48)

где p = -β N /(3 R _с);

q = -3β M /(ξ R _с);

β = 5 ¸ 6;

ξ = 0, 5 ¸ 0, 8;

R _с - расчетное сопротивление древесины сжатию с учетом коэффициентов условий работы по пп. 3.1 и 3.2 и коэффициентов надежности по назначению конструкций согласно стандарту СТ СЭВ 384-76.

Поскольку q > > p, дискриминант уравнения (48) Д = q ² + p ²> 0 и оно имеет одно действительное и два мнимых решения. Согласно формуле Кардано, действительное решение h = U + V,

где ;

Подбор сечения арки

Учитывая уникальный характер здания по степени ответственности, для изготовления арок принимаем пиломатериал из древесины сосны 1-го сорта толщиной 4, 2 см. Коэффициент надежности по назначению γ _n = 1.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится в пределах (1/40 - 1/50) l = = (1/40 - 1/50)6000 = 150 - 120 см.

Согласно пп. 3.1 и 3.2, при h > 120 см, δ _сл = 4, 2 см и r_k / a = 4641/4, 2 = 1105 > 500 коэффициенты условий работы будут m _б = 0, 8, m _сл = 0, 95, m _гн = 1; соответственно расчетное сопротивление сжатию и изгибу

R _с = R _и= 0, 8× 0, 95× 1, 0× 16/1, 0 = 12, 2 МПа.

Для определения поперечных размеров сечения арки пользуемся уравнением (47). Принимаем β = h / b = 5, 5; ξ = 0, 65 и определяем высоту и ширину сечения арки h = 1285 мм и b = 1285/5, 5 = 234 мм ≈ 240 мм.

Принимаем поперечное сечение арки b ´ h = 240 ´ 1344 мм из 32 слоев толщиной 42 мм.

Расчет арки на прочность выполняем в соответствии с указаниями СНиП II-25-80, п. 4.17, формула (28).

Определяем гибкость согласно СНиП II-25-80, пп. 4.4 и 6.25, формула (9):

λ = l ₀/ r = 0, 58 S / = 0, 58 S / = 0, 58 S /(0, 29 h) = 0, 58× 65, 2/(0, 29× 1, 344) = 97.

Согласно п. 6.27, при определении коэффициента ξ вместо N в формулу (30), п. 4.17, СНиП II-25-80 надо поставить N ₃₀ = 408 кН - сжимающее усилие в ключевом сечении для расчетного сочетания нагрузок (см. рис. 45):

ξ = 1 - λ ² N ₃₀/(AR _с F _бр) = 1 - 97²× 408× 10³/(3000× 12, 2× 240× 1344) = 0, 675;

момент

M _д = M /ξ = 447/0, 675 = 662 кН× м;

расчетный момент сопротивления

W _расч = 6 h ²/6 = 240× 1344²/6 = 72, 253× 10⁶ мм³.

Подставив эти значения в формулу (28) СНиП II-25-80, получим:

N / F _расч + M _д/ W _расч = 449000/322600 + 662× 10⁶/72, 253× 10⁶ = 1, 4 + 9, 2 = 10, 6 < 12, 12 МПа,

т.е. прочность сечения достаточна.

Проверим сечение на устойчивость плоской формы деформирования по формуле (33) п. 4.18 СНиП II-25-80.

Покрытие из плит шириной 150 см раскрепляет верхнюю кромку арки по всей длине, откуда

l _р = 2× 150 см < 140× b ²/(hm _б) = 140× 24²/(134, 4× 0, 8) = 750 см,

т.е. имеет место сплошное раскрепление при положительном моменте сжатой кромки, а при отрицательном - растянутой, следовательно, показатель степени n = 1 в формуле (33), СНиП II-25-80.

Предварительно определяем:

а) коэффициент φ _М по формуле (23), п. 4.14, СНиП II-25-80 с введением в знаменатель коэффициента m _б согласно п. 4.25 настоящего Пособия:

φ _М = 140 b ² K _ф/(l _р hm _б) = 140× 24²× 1, 13/(3260× 131, 4× 0, 8) = 0, 26.

Согласно СНиП II-25-80, п. 4.14, к коэффициенту φ _М вводим коэффициенты K _жм и K _нм. С учетом подкрепления внешней кромки при m > 4 K _жм = 1

K _нм = 0, 142 l _р/ h + 1, 76 h / l _р + 1, 4α _р = 142× 3260/134, 4 + 1, 76× 134, 4/3260 + 1, 4× 0, 702 = 4, 5;

φ _м K _нм = 0, 26× 4, 5 = 1, 17;

б) коэффициент φ по СНиП II-25-80, п. 4.3, формула (8) для гибкости из плоскости

φ = A /λ ² _y = 3000[(0, 5 S /(0, 29 b)²] = 3000× 0, 29²× 24²/(0, 5× 6520²) = 0, 014.

Согласно СНиП II-25-80, п. 4.18, к коэффициенту φ вводим коэффициент K _{н N}, который при m > 4 равен:

K _{н N} = 0, 75 + 0, 06(l _р/ h)² + 0, 6α _р l _р/ h = 0, 75 + 0, 06(3260/134, 4)² + 0, 6× 0, 702× 3260/134, 1 = 46, 27;

φ K _{н N} = 0, 014× 46, 27 = 0, 6648.

Подставив найденные значения в формулу (33) СНиП II-25-80, получим

N /(F _брφ R _с) + M _д/(W _брφ _м R _и) = 449× 10³/(322× 10³× 0, 6448× 12, 2) + 662× 10⁶/(72, 253× 10⁶× 1, 17× 12, 2) = 0, 18 + 0, 65 = 0, 83 < 1.

Таким образом, условие устойчивости выполнено и раскрепления внутренней кромки в промежутке между пятой и коньковым шарниром не требуется.

Расчетузловарки

Опорный узел (рис. 46)

Расчетная нормальная сила N = 649 кН, поперечная сила Q = 66 кН (см. рис. 45).

Материалы шарнирного соединения в пяте и коньке, сталь марки ВСт3кп2 по ГОСТ 380-71 с изм. и гнутый профиль из трубы диаметром 50 мм с толщиной стенки 5 мм по ГОСТ 8732-78 с изм.

Проверка напряжений в шарнире на смятие производится по формуле (64), п. 5.38, СНиП II-23-81

F /(1, 25 rl) ≤ R_{l р}γ _с;

требуемый радиус шарнира

r = F /(1, 25 lR_{l р} v _с) = 649× 10³(1, 25× 160× 168× 1) = 19, 4 мм.

Рис. 46. Опорный узел арки

1 - стальной шарнир; 2 - боковые ребра опорного башмака; 3 - оголовок; 4 - гнутый профиль; 5 - среднее ребро башмака; 6 - болты; 7 - опорная плита; 8 - накладки; 9 - фундамент

Конструктивно принимаем стержень d = 40 мм. При этом для гнутого профиля башмака принимаем половину трубы d = 50 мм с толщиной стенки 5 мм.

Производим проверку торцевого упора арки на смятие. Расчетное сопротивление смятию R _см = R _с= R _и = 12, 2 МПа;

требуемая площадь смятия

F _см = N / R _см = 649× 10³/12, 2 = 5, 32× 10⁴ мм²,

откуда при b = 210 мм

l ≥ F _см/ b = 5, 32× 10⁴/240 = 222 мм, принимаем l = 400 мм.

Исходя из этих размеров, назначаем ширину и длину башмака соответственно 200 и 400 мм. Усилие от шарнира передается на башмак через сварной профиль из пластин, имеющий два боковых и одно среднее ребра (см. рис. 46). Тогда площадь смятия торца арки под башмаком

F _см = 200× 400 = 8× 10⁴ мм;

напряжения смятия

σ _см = 649× 10³/8× 10⁴ = 8, 1 < 12, 2 МПа;

площадь смятия ребер под сварным профилем

F _см = (2× 4 + 12)δ = 20δ;

требуемая толщина ребер башмака

δ = N /(20 R_{l р} v _с) = 649× 10³/(20× 168× 1) = 19, 3 мм.

Принимаем ребра толщиной 20 мм. В пределах башмака оголовок работает как плита, защемленная с трех сторон и свободная короткой стороной, с размером в плане 200 ´ 160 мм. Максимальный изгибающий момент определяем по формуле (см. Рохлин И.А., Лукашенко И.А., Айзен А.М. Справочник конструктора-строителя. Киев, 1963, с. 192) M = 0, 085 ql ² = 0, 085× 8, 1× 160² = 1, 76× 10⁴ Н× мм.

Требуемый момент сопротивления

W = δ ²/6 = M / R _и = 1, 76× 10⁴/220 = 80 мм³,

откуда

δ = = = 21, 9 мм.

Принимаем лист толщиной 22 мм.

Концевые части пластины оголовка подвергаются изгибу как консольные от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью, соответствующей напряжениям смятия по всей внутренней площадке оголовка от нормальной силы

q = Nb _пл/ F _см= 649× 10³× 200/(750× 200) = 865 Н/мм.

Безопасное расстояние x от края пластины оголовка до ребер башмака определяем из равенства:

W = M _конс/(1, 2 R _и) = 200× 22²/6 = 865 x ²/(1, 2× 2 R _и),

откуда x = = 99 мм.

Таким образом, конструктивно длину башмака принимаем

a = 750 - 2× 99 = 552 ≈ 600 мм.

На болты, присоединяющие оголовок, действуют усилия, вызываемые поперечной силой при третьей схеме загружения:

N _б = Q (15 + 2, 2 + 17, 8/3)/75 = 66× 23/75 = 20, 24 кН.

Необходимый диаметр болта определим, исходя из его несущей способности по изгибу согласно СНиП II-25-80, п. 5.16:

T _б = n 2, 5 d ² = N _б, при n = 2;

d = = = 2, 01 см.

Принимаем болты диаметром 20 мм.

Коньковый шарнир (рис. 47)

Расчет опорной пластины

Принимаем пластину размером 300 ´ 200 мм. Нормальная сила, сжимающая пластину N = 52, 5 кН. Напряжения смятия торца арки в ключе

σ _см = N / F _см = 525× 10³/(300× 200) = 8, 8 < 12, 2 МПа.

Рис. 47. Коньковый узел арки

1 - упорный штырь; 2 - опорная пластина; 3 - спаренный штырь; 4 - оголовок; 5 - болты; 6 - накладка

Толщину пластины находим из условия ее работы на изгиб по схеме двухконсольной балки, для которой нагрузка

q = 52, 5/0, 3 = 1750 кН/м;

изгибающий момент

M = 1750× 0, 135²/2 = 16 кН× м.

Требуемый момент сопротивления (с учетом пластичности)

W = M /(R _и× 1, 2) = 16× 10⁶/(220× 1, 2) = 60, 6× 10³ мм³.

Требуемая толщина пластины

δ = = = 43 мм.

Принимаем толщину пластины 45 мм.

Расчет упорного штыря производим на изгиб как консоли. Изгибающий момент

M = Q × 50 = 44× 10³× 50 = 220× 10⁴ Н× мм;

требуемый момент сопротивления с учетом пластичности

W = 220× 10⁴/(220× 1, 2) = 8, 3× 10³ мм³;

при ширине штыря b = 100 мм требуемая толщина

δ = = 22, 3 мм.

Принимаем δ = 30 мм.

Аналогично рассчитываются спаренные штыри, вваренные справа в опорную пластину. Оголовок и его крепление принимаем таким же, как и в опорных узлах арки.

Безопасное расстояние от края пластины оголовка до опорной пластины определяем так же, как при расчете пятового шарнира,

где

q = 525× 10³/750 = 700 Н/мм,

тогда длину опорной пластины конструктивно принимаем 750 - 2× 110 = 530 ≈ 540 мм.

Пример 2. Запроектировать трехшарнирную стрельчатую арку для неотапливаемого склада сыпучих материалов.

Исходные данные

Арки постоянного сечения, пролет l = 24 м, стрела подъема f = 6 м > l /6 при шаге 4, 5 м, опоры железобетонные (рис. 48). Район строительства III по снеговой нагрузке и I по скоростному напору ветра.

Ограждающая часть покрытия состоит из прогонов с шагом 1, 5 м, укладываемых непосредственно на арки. По прогонам устраивается кровля из асбестоцементных листов УВ-1750.

Устойчивость арок из плоскости обеспечивается прогонами и деревянными диагональными элементами, которые расположены в торцах здания и через 22, 5 м вдоль здания, образуя поперечные связевые фермы. Прогоны прикреплены к верхним граням арок, а в коньке и пятах полуарок поставлены продольные элементы с упором в боковые грани арок.