Статический расчет арки

Расчет арки выполняется на следующие сочетания нагрузок: постоянной и снеговой; постоянной, снеговой, ветровой и от загрузочной тележки (см. рис. 50).

Опорные реакции от постоянной нагрузки на всем пролете

V_А = V_В = q ^р_н l /2; H = q ^р_н l ²/(8 f).

Опорные реакции от снеговой нагрузки по пролету в пределах уклона кровли α = 50°:

V_А = V_В = q ^р_сн x _с; H = q ^р_сн x _с(l - x _с)/(2 f),

где x _с- горизонтальная проекция участка кровли с уклоном до 50°, равная 5, 9 м (см. рис. 50).

Опорные реакции от снеговой нагрузки на половине пролета:

V_А = q ^р_сн x _с(l + x _с)/(2 l); V_В = q ^р_сн x _с(l - x _с)/(2 l); H = V_Вl /(2 f).

Реакции от ветровой нагрузки:

вертикальные

V_А = [ P ₁ a ₁ - P ₂(a ₂ + a ₃) - P ₄ a ₄]/ l;

V_В =[ P ₁ a ₄ - P ₂(a ₃ + a ₂) - P ₄ a ₁]/ l;

горизонтальные

H_А = (V_А 0, 5 l - P ₁ b ₁ + P ₂ b ₂)/ f;

H_В = (V_В 0, 5 l + P ₄ b ₁ + P ₃ b ₂)/ f,

где P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ - равнодействующие соответствующих зон ветрового давления; a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ - плечи равнодействующих относительно опорных шарниров; b ₁, b ₂ - то же, относительно ключевого шарнира. Вычислим плечи равнодействующих ветрового давления.

a ₁ = a sin (3, 37φ ₁ - β ₁) = 16, 4sin 21°8 ' = 16, 4× 0, 3606 = 5, 91 м;

a ₂ = a sin (0, 87φ ₁ - β ₁) = 16, 4sin 5°10 ' = 16, 4× 0, 0901 = 1, 48 м;

a ₃ = r sin (4, 13φ ₁) = 36, 4sin 26°22 ' = 36, 4× 0, 4441 = 16, 2 м;

a ₄ = r sin (1, 63φ ₁) = 36, 4sin 10°25 ' = 36, 4× 0, 1808 = 6, 6 м;

b ₁= r sin (3, 37φ ₁) = 3, 64sin 21°31 = 36, 4× 0, 3668 = 13, 35 м;

b ₂= r sin (0, 87φ ₁) = 36, 4sin 5°33 = 36, 4× 0, 0967 = 3, 52 м,

где

β = arctg [(x ₀ - l)/ y ₀] = arctg [(34 - 24)/13] = 37°34 ';

ψ = 90° - (φ ₀ + φ) = 90° - 20° 55 ' - 31°54 ' = 37°11 ';

β ₁ = β - φ = 37°34 ' -37°11 ' = 0°23 '.

Таблица 31

Вид нагрузки и нагружения	Нагрузка, кН/м	Опорные реакции, кН
VА	VВ	HА	HB
Постоянная, равномерно распределенная	2, 37	28, 4	28, 4	10, 7	10, 7
Постоянная сосредоточенная		11, 1	11, 1	6, 9	6, 9
Снеговая, равномерно распределенная:
в пределах уклона кровли до 50°	3, 6	21, 1	21, 1	11, 9	11, 9
на левом полупролете		13, 1
Временная сосредоточенная	-			18, 8	18, 8
Ветровая (слева)	-	-7, 4	-7	-10, 4	1, 4

Таблица 32

№ сечения	Координаты, м	Изгибающие моменты от вертикальных нагрузок, кН× м
x	y	постоянной gn	снеговой на левой полуарке P с	снеговой на правой полуарке P с	снеговой на всем пролете P с	временной P вр	постоянной P п
	1, 65	3, 69		-0, 5	-9	-9, 1	-19, 9	-7, 1
	3, 72	7, 19		5, 6	-13, 4	-7, 1	-23, 6	-8, 3
	6, 15	10, 44	17, 6	17, 9	-13, 4	5, 5	-11, 8	-3, 8
	8, 92	13, 39	15, 4	22, 2	-8, 9	14, 6	15, 9	6, 1

Нагрузки и опорные реакции приведены в табл. 31, а изгибающий момент от вертикальных нагрузок - в табл. 32 и вычислены по формуле M_x = M ⁰ _x - Hy_x, где M ⁰ - изгибающий момент простой балки от рассматриваемой нагрузки.

Вычисление изгибающих моментов, кН× м, от ветровой нагрузки приведено в табл. 33 и выполнено по формулам

в левой полуарке M_n = V_Аx_n - H_Аy_n ± M^b_n;

в правой полуарке M'_n = V_Вx_n - H_Вy_n ± M^b'_n,

где M^b_n и M^b'_n - моменты от ветровой нагрузки, расположенной слева и справа от сечения n:

M^b ₁ = - P ₁ r sin (φ ₁/2)3, 26; M^b' ₁ = P ₄ r sin (φ ₁/2)/3, 26;

M^b ₂ = -2 P ₁ r sin φ ₁/3, 26; M^b' ₂ = 2 P ₄ r sin φ ₁/3, 26;

M^b ₃ = -3 P ₁ r sin (1, 37φ ₁)/3, 26; M^b' ₃ = 3 P ₄ r sin (1, 37φ ₁)/3, 26;

M^b ₄ = - P ₁ r sin (2, 37φ ₁) + 0, 74 P ₂ r sin (0, 37φ ₁)/2;

M^b' ₄= P ₄ r sin (2, 37φ ₁) + 0, 74 P ₃ r sin (0, 37φ ₁)/2;

M^b ₅= - P ₁ b ₁ + P ₂ b' ₂; M^b' ₅ = P ₄ b ₁ + P ₃ b ₂.

Таблица 33

№ сечения	VАxn	- HАyn	Mbn	Mn	VВxn	- HВyn	Mbn'	Mn'
	-12, 1	38, 6	-5, 4	21, 1	-11, 5	-5, 2	3, 1	-13, 6
	-27, 5	74, 9	-21, 6	25, 8	-26	-10, 1	12, 4	-23, 7
	-45, 5	108, 6	-44, 5	18, 0	-43, 1	-14, 6	25, 6	-32, 1
	-66	139, 3	-76, 5	-3, 2	-62, 4	-18, 7	53, 8	-27, 3
	-88, 8	166, 4	-77, 3		-84	-22, 4

Таблица 34

№ сечения	Изгибающие моменты, кН× м, от	Расчетные величины моментов, кН× м
от собственного веса	снеговой нагрузки	ветровой нагрузки	веса оборудования
слева	справа	полная	слева	справа	постоянные	временные
		-0, 5	-9	-9, 1	21, 1	-13, 6	-7, 1	-19, 9	22, 5/-41, 4
		5, 6	-13, 4	-7, 1	25, 8	-23, 7	-8, 3	-23, 6	40, 3/-50, 9
	17, 6	17, 9	-13, 4	5, 5	18, 6	-32, 1	-3, 8	-11, 8	50, 5/-46, 8
	15, 4	22, 2	-8, 9	14, 6	-3, 2	-27, 3	6, 1	15, 9	53, 4/-17, 2

В табл. 34 приведены значения изгибающих моментов от постоянной, снеговой, ветровой нагрузки и от веса технологического оборудования, а также расчетные значения моментов при неблагоприятных сочетаниях постоянных и временных нагрузок. При учете одновременно двух и более временных нагрузок вводился коэффициент сочетании n _с = 0, 9.

Как видно из табл. 34, наибольший положительный момент в сечении 4, а отрицательный - в сечении 2. Для расчетных сечений 4 и 2 определим значения нормальных сил по формуле

N = Q ^оsin φ _n + H cosφ _n.

Сечение 4

x = 8, 92 м; φ ₄ = 46°27 '; sin φ ₄ = 0, 725; cos φ ₄ = 0, 69.

Для вертикальных нагрузок определяем значения балочных поперечных сил от:

собственного веса Q ^о₁= 28, 4 - 8, 92× 2, 37 = 7, 3 кН;

постоянной сосредоточенной нагрузки Q ^о₂ = 11, 1 кН;

снеговой нагрузки налевом полупролете Q ^о₃ = (13, 1 - 3, 6× 2, 82)0, 9 = 2, 7 кН;

временной сосредоточенной нагрузки Q ^о₄ = 30× 0, 9 = 27 кН.

Суммарное значение балочной поперечной силы в сечении 4 Q ^о= 48, 1 кН.

Суммарный распор от тех же загружений

H = 10, 7 + 6, 9 + 0, 9(6 + 18, 8) = 39, 9 кН.

Нормальная сжимающая сила от вертикальных нагрузок будет равна: N _р= (48, 1× 0, 725 + 39, 9× 0, 69) = 62, 4 кН.

Нормальная сила от ветровой нагрузки определяется по формуле

N^b ₄ = V_А sin φ ₄ + P ₁sin (2, 37φ ₁) + 0, 74 P ₂sin (0, 37φ ₁) + H_А cos φ ₄.

По табл. 31 находим V_А = -7, 4 кН; H_А = -10, 4 кН.

Остальные входящие в формулу величины равны:

P ₁ = 8, 71 кН; P ₂ = -11, 1 кН; 2, 37φ ₁ = 15°8 ';

sin (2, 37φ ₁) = 0, 261; 0, 37φ ₁ = 2°22 '; sin (0, 37φ ₁) = 0, 0413,

тогда с учетом коэффициента сочетания нагрузок

N^b ₄ = -0, 9(-7, 4× 0, 725 + 8, 71× 0, 261 - 0, 74× 11, 1× 0, 0413 - 10, 4× 0, 69) = 9, 5 кН.

Суммарное значение нормальной силы в сечении 4 равно:

N ₄ = N _р+ N^b ₄ = -62, 4 + 9, 5 = -52, 9 кН.

Сечение 2

x ₂= 3, 72 м; φ ₂ = 33°41 '; sin φ ₂ = 0, 555; cos φ ₂ = 0, 832.

Для этого сечения получаем аналогично сечению 4:

поперечную балочную силу Q ^°₂ = 69, 5 кН;

суммарный распор H = 39, 9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N _р = -71, 8 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b ₂ = 4 кН;

суммарную нормальную силу N ₂ = -67, 8 кН.

Поскольку при определении коэффициента ξ, согласно СНиП II-25-80, п. 6.27, необходима сжимающая сила в ключе, то определим ее так же, как и для сечений 4 и 2.

Сечение 5. X ₅= 12 м; φ ₅ = 52°50 '; sin φ ₅ = 0, 797; cos φ ₅ = 0, 604.

Получаем:

поперечную балочную силу Q^° ₅ = -7, 3 кН;

суммарный распор H = 39, 9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N _р = -18, 2 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b ₅ = -12, 3 кН;

суммарную нормальную силу N ₅ = -30, 6 кН.

Расчетные усилия в сечения 2 и 4:

M ₂ = -50, 9 кН× м; N ₂ = -67, 8 кН;

M ₄ = +53, 4 кН× м; N ₄ = -52, 9 кН.