Потенциальный барьер произвольной формы

Выше были рассмотрены модельные задачи, в которых потенциальная функция имеет простейший рельеф — ступень и прямоугольник. Реальные потенциальные функции, формирующиеся, в частности, в микроструктуре жидкостей и твердых тел, могут отличаться более сложной формой.

Получим приближенное выражение для коэффициента прозрачности барьера, заданного произвольной гладкой функцией , как, например, на рис. 6. Для вывода формулы будем использовать вероятностную трактовку коэффициента прозрачности , как вероятности прохождения частицы сквозь барьер. Ограничим область анализа отрезком , в пределах которого энергия частицы ниже энергии барьера (рис. 6). Заменим далее в указанном отрезке потенциальную функцию расположенными последовательно прямоугольными потенциальными барьерами равной ширины , высота которых соответствует текущему значению (рис. 6). Таким образом, задача оценки вероятности прохождения частицей исходного барьера сводится к расчету вероятности прохождения частицей N прямоугольных потенциальных барьеров разной высоты. Поэтому следует вычислить вероятность одновременного выполнения N событий, каждое из которых является прохождением частицы через прямоугольный потенциальный барьер заданной амплитуды. Из теории вероятности известно, что вероятность одновременного выполнения N событий есть произведение вероятности отдельного события. Поэтому коэффициент прозрачности совокупности прямоугольных потенциальных барьеров вычислим как произведение коэффициентов прозрачности каждого из N прямоугольных барьеров, аппроксимирующих реальный барьер

Поскольку коэффициенты по порядку величины равны 1 для оценочных расчетов положим . Произведение экспонент, очевидно, преобразуется в одну экспоненциальную функцию с показателем, равным сумме показателей экспонент сомножителей в исходном выражении. Поэтому

Устремляя в последнем выражении , получим соответственно . При этом сумма в показателе экспоненты последнего выражения переходит в интеграл

Значения пределов интегрирования в (21) определяются, как точки пересечения потенциальной функции с горизонтальной линией, соответствующей энергии частицы (рис. 6).

В качестве примера вычислим коэффициент прозрачности потенциального барьера, на границе металлического тела при воздействии внешнего электрического поля. В обычных условиях на границе металл-вакуум имеет место потенциальный барьер ступенчатой формы, полностью препятствующий электронам покидать металл (рис. 7). Разницу высоты барьера и энергии частицы принято называть работой выхода . Преодоление данного барьера возможно, если дополнительно сообщить электронам энергию, превосходящую работу выхода. Это возможно при нагревании металла. В этом случае возникает термоэлектронная эмиссия.

Рис. 7. К расчету коэффициента прозрачности потенциального барьера на границе металл–вакуум

Другая возможность освобождения электронов с поверхности металла заключается в искажении формы потенциального барьера таким образом, чтобы его коэффициент прозрачности стал отличным от нуля. Такая ситуация возникает при приложении соответствующим образом направленного внешнего электрического поля . В этом случае на электрон будет действовать сила , а потенциал этой силы соответственно равен . Нетрудно видеть, что при таком определении . Поэтому совокупная потенциальная функция будет иметь не ступенчатую высотой форму, а треугольную, описываемую формулой (рис. 7). Для расчета коэффициента прозрачности такого барьера с помощью формулы (21) необходимо определить начало и конец отрезка интегрирования. Если начальная точка очевидно , то конечная определяется из условия равенства энергии электрона E энергии барьера:

Откуда . Таким образом, имеем для коэффициента прозрачности

После интегрирования найдем

где .

Таким образом, приложение внешнего электрического поля вследствие появления вероятности прохождения потенциального барьера на границе металл-вакуум () приводит к выходу электронов из металла и соответствующему возникновению электрического тока. Данное явление носит название автоэлектронной или холодной эмиссии. Плотность тока автоэлектронной эмиссии пропорциональна коэффициенту прозрачности , где .