УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Из предыдущего раздела следует, что все частицы могут в зависимости от внешних пространственных и временных условий могут проявлять, как обычные, описываемые в рамках уравнений классической механики, так и волновые свойства, когда область пространственной локализации волнового пакета частицы или длина ee волны соизмеримы с размерами области движения. Очевидно, для описания движения частиц с учетом отмеченных свойств необходимы иные модели, которые охватывали бы, как классические, так и волновые свойства частиц. Базовым элементом такой модели явилось уравнение Шредингера. При этом в отличие от классической механики при математическом описании движения частиц используются не сами числовые характеристики движения (координата, импульс, энергия), а их операторы. Оператором будем называть некоторое действие, производимое над функцией. Такими действиями, например, являются дифференцирование или умножение на константу. Необходимость использования операторов в теории Шредингера возникает, в связи с тем, что искомой во всех расчетах является не имеющая физической размерности волновая функция (3).

Рассмотрим вначале хорошо известное из курса теоретической механики уравнение

, (4)

где — энергия, — функция Гамильтона. Если рассматривать движение уединенной частицы — материальной точки массой — в классической модели механики, то функция Гамильтона будет иметь вид

где — квадрат вектора скорости частицы, — потенциальная функция, с помощью которой описывается действие на частицу внешних сил , — радиус вектор положения частицы. Данные соотношения фактически описывают полную энергию материальной точки, состоящей из кинетической , где — механический импульс частицы, и потенциальной энергии — .

Уравнение Шредингера выглядит похожим на классическое (4)

(5)

Здесь вместо полной энергии E и функции Гамильтона H фигурируют оператор энергии

и оператор Гамильтона

где — оператор квадрата импульса. Определение оператора квадрата импульса основано на двукратном применении оператора импульса

где — мнимая единица, оператор в декартовых координатах имеет вид

где — орты декартовых осей. Отсюда оператор квадрата импульса будет иметь вид . Оператор Гамильтона

Существует строгое доказательство того, что уравнение Шредингера (5) преобразуется в уравнения классической механики в случае, если область локализации волнового пакета частицы значительно меньше размеров области движения. Здесь мы продемонстрируем этот переход для случая свободного движения частицы, когда . В случае одномерного движения частицы вдоль оси волновую функцию можно записать в виде

Используя формулу Планка и формулу Де-Бройля , выражение для волновой функции можно преобразовать к виду

Уравнение Шредингера при одномерном движении и имеет вид

После подстановки в него волновой функции (6) получим

Иными словами при свободном движении частицы, последняя обладает только кинетической энергией.

Следует обратить внимание, что полученное выражение уже не содержит волновой функции. Вместе с тем до сих пор вопрос о физическом смысле волновой функции остается открытым. Для того, чтобы установить его, рассмотрим наряду с уравнением Шредингера для описания движения электрона, имеющего заряд Кл и массу ,

комплексно сопряженное ему уравнение

где — комплексно сопряженная к . Умножим (7) на , а (8) на и сложим получившиеся уравнения. При этом после преобразований получим

Умножив последнее уравнение на заряд электрона e₀, его можно привести к виду

где , . Уравнение (9) выражает собой хорошо известный из электродинамики закон сохранения заряда, где — плотность заряда, — плотность тока. Таким образом, полученное из уравнения Шредингера уравнение (9) описывает плотность заряда и плотность тока, возникающую при движении электрона. То есть можно говорить о распределенной в объеме плотности заряда электрона. Однако полный заряд электрона известен и равен , поэтому

Подставляя под знак интеграла выражение для объемной плотности заряда , получим

Соотношение (10) называется условием нормировки волновой функции. Таким образом, волновая функция, найденная в результате решения дифференциального уравнения Шредингера, должна удовлетворять еще и условию нормировки (10).

Обратимся к физическому смыслу условия нормировки. Выше мы отмечали, что положение электрона внутри объема не является точно определенным. Поэтому заряд электрона не является точечным, а характеризуется некоторой плотностью распределения. При этом, очевидно, что в точках с наибольшим значением обнаружение электрона является наиболее вероятным. Это означает, что координаты положения электрона можно характеризовать функцией . Равенство интеграла (10) единице означает, что электрон наверняка (с вероятностью, равной единице) находится внутри объема . Поэтому функция имеет смысл плотности вероятности — с помощью этой функции можно найти вероятность обнаружить частицу в объеме , являющегося частью полной области движения :

Поскольку функция является плотностью вероятности нахождения частицы в некоторой точке пространства, то она может быть использована для нахождения средних значений координат положения частицы. В частности среднее значение радиуса вектора положения частицы вычисляется как

В частном случае одномерного движения частицы вдоль оси на отрезке среднее значение координаты будет равно

Выше отмечалось, что в уравнении Шредингера в отличие от классических уравнений механики фигурируют не сами физические величины, характеризующие движение (энергия, импульс и т. д.), а их операторы. Поэтому для вычисления средних значений физических величин также используются операторы. Пусть физическая величина характеризуется оператором . Тогда среднее значение этой физической величины будет вычисляться по формуле

Важно отметить, что для правильного применения последней формулы следует вначале аналитически определить результат действия оператора на функцию и только после этого вычислять интеграл. Приведенная выше формула (11) является частным случаем общего выражения (12), поскольку оператором координаты является умножение на .

Волновая функция ψ как видно из уравнения Шредингера, в общем случае является комплексной функцией. В то же время средние значения наблюдаемых физических величин являются всегда числами действительными. Само по себе выражение (12) не гарантирует того, что вычисленный результат будет действительным числом. Поэтому определeнные требования предъявляются к операторам . Операторы, удовлетворяющие данному свойству , в математике носят название самосопряженных. Все операторы физических величин, используемые в теории Шредингера, являются самосопряженными.

Приведем еще несколько важных свойств и понятий, относящихся к операторам квантовой механики. Операторы квантовой механики являются линейными. Математически это свойство выражается следующими формулами

,

,

где — функции, — константа.

Собственными функциями и собственными числами оператора называются функции и числа, удовлетворяющие равенству

,

где — целое положительное число, в общем случае может изменяться в интервале от 1 до бесконечности. Таким образом, оператор может иметь бесконечное число собственных функций и собственных чисел.

Пусть функция является единственной собственной функцией оператора с соответствующим собственным значением . Вычислим среднее значение оператора

Таким образом, если оператор имеет лишь одно собственное число и одну собственную функцию, то это собственное значение будет совпадать с его средним значением.

В случае, если оператор имеет множество собственных значений , то в результате точных измерений физической величины, соответствующей оператору , должны получаться лишь его собственные значения. Рассчитаем вероятность получить при точных измерениях значение физической величины, равное . Для этого разложим решение уравнения Шредингера в ряд по собственным функциям оператора :

Данное разложение аналогично разложению в ряд Фурье. Возможность и единственность такого разложения обеспечивается свойством полноты системы функций . Можно показать, что собственные функции операторов физических величин данным свойством обладают. Кроме того в случае самосопряженных операторов, к которым относятся операторы физических величин, их собственные функции обладают свойством ортогональности

Как отмечено выше, волновая функция частицы должна удовлетворять условию нормировки (10), применительно к разложению (13) это условие будет иметь вид

Если перемножить суммы под знаком интеграла и почленно проинтегрировать, то по свойству ортогональности системы функций все интегралы, содержащие произведения при , будут равны нулю, остальные единице. Поэтому получим

Последнее равенство позволяет трактовать величины как вероятность обнаружить квантовый объект в состоянии . Если же теперь вычислить среднее значение оператора , то получим

Последнее равенство еще раз подтверждает вероятностную трактовку коэффициентов .