Простейшие решения для угловой составляющей волновой функции

l	m	|L|	Lz	Y(α, θ)
			ħ
-1		-ħ

Постоянная определяется из условия нормировки, которое при фиксированном удалении частицы от начала координат (жесткий ротатор) будет иметь вид

где — элемент сферической поверхности единичного радиуса.

Физически данное условие означает обнаружение частицы где-либо на поверхности ротатора как достоверное событие. В частности для комбинации квантовых чисел и , когда . Условие нормировки дает

откуда .

Отметим также, что плотность вероятности для всех решений имеет вид и не зависит от азимутального угла . Поэтому произведение есть вероятность обнаружить частицу между углами и . Графически распределения плотности вероятности для волновых функции , приведенных в табл. 1, построены на рис. 9.

Рис. 9. Распределение плотности вероятности для ротатора

Чтобы получить полную картину, график нужно вращать вокруг оси . При этом в случае комбинации квантовых чисел , , называемой -состоянием, направление вращения, направление момента импульса не зависит от угла , что очевидно, объясняется тем, что в этом состоянии . Покоящаяся материальная точка может с равной вероятностью находится на поверхности сферы. В случае -состояния с , , наиболее вероятной из всех траекторий ротатора является та, которая расположена в плоскости . При этом состояния с и отличаются направлением вращения. В первом случае ротатор обладает правым вращением, когда направлен в положительном направлении оси . Левому вращению () соответствует обратное направление вектора L. Наконец, в p -состоянии c и наиболее вероятной является орбита, проходящая через ось . При этом момент импульса перпендикулярен оси .

Обратимся теперь к уравнению для радиальной состaвляющей волновой функции (23). Рассмотрим простейшее решение радиального уравнения, которое имеет место при . Выполняя дифференцирование в первом слагаемом левой части и подставляя выражение для , получим

где , . Будем искать простейшее решение, ограниченное при и стремящееся к нулю при в виде . После подстановки этого представления в последнее уравнение и сокращения на , получим

Перегруппировав слагаемые, получим

Последнее равенство должно выполняться тождественно при любых изменениях , но поскольку первое слагаемое в круглых скобках является константой данное требование можно выполнить только в случае, если одновременно и . Отсюда получаем

откуда . Полученные для 1s состояния () результаты являются частным случаем общего решения уравнения (23), которое приводит к следующей формуле для энергии электрона

где носит название главного квантового числа и принимает любые положительные целые значения, — радиальное квантовое число. Величина, обратная к , является боровским радиусом

При этом радиальная волновая функция R для 1s состояния () будет записана в виде . Поскольку в этом состоянии угловая составляющая волновой функции является константой, то полное решение для данной комбинации квантовых чисел получит вид

где индексы у φ есть соответственно значения главного, орбитального и магнитного квантового числа, — постоянная, которую следует искать с помощью условия нормировки

В переменных сферической системы координат последнее условие получает вид

Также достаточно простым по форме выглядит решение для состояния ()

С помощью формулы (27) можно построить схему энергетических уровней атома водорода (рис. 10). Для этого ее удобно представить в виде

где эВ. Электрон в связанном состоянии имеет отрицательную энергию, т. е. находится в потенциальной яме, верхний уровень стенок которой соответствует нулевой энергии. По мере роста главного квантового числа электрон приближается к свободному состоянию, для которого характерно . Из рис. 10 видно, что для того, чтобы перевести электрон в свободное состояние — «извлечь из потенциальной ямы» — необходимо затратить энергию эВ. В результате атом лишается электрона и становится положительно заряженным ионом. Этот акт называется ионизацией, а приведенное значение энергии — энергией ионизации.

Рис. 10. Схема энергетических уровней атома водорода

Характерно, что в связанном состоянии значение энергии электрона приобретает дискретный набор значений, образуя, так называемый дискретный энергетический спектр. Аналогичное поведение энергетического спектра мы наблюдали в задаче об одномерной потенциальной яме. В свободном состоянии электрон обладает сплошным спектром, т. е. может принимать любое значение энергии.

Из рис. 10 также видно, что одно и тоже значение энергии электрона, начиная со второго уровня, реализуется в различных комбинациях квантовых чисел. Явление, когда разрешенное значение энергии квантовой системы достигается при нескольких разрешенных комбинациях квантовых чисел, называется вырождением энергетического уровня, а число таких комбинаций — степенью вырождения. Из рис. 10 видно, что чем выше главное квантовое число, тем выше степень вырождения соответствующего уровня. Отметим также, что рис. 10 не дает полного представления о степени вырождения энергетических уровней электрона в атоме водорода, поскольку там не показаны варианты реализации уровней энергии с различными значениями магнитного квантового числа m, а также не учтены два различных значения спина электрона в каждом состоянии. Учет этих факторов дает выражение для степени вырождения энергетического уровня электрона в атоме водорода .