ЭЛЕКТРОНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

В данном разделе рассматривается применение теории, основанной на уравнении Шредингера к описанию движения электронов в кристаллических твердых телах.

Рис. 11. Периодическая потенциальная функция

Особенностью строения кристаллических твердых тел является наличие структурированной решетки, т. е. такое положение ядер и атомов, которое может быть получено повторением (трансляцией) элементарной ячейки вдоль осей координатной системы. Потенциальная функция в таких условиях становится периодической функцией координат, с чем мы не сталкивались в предыдущих разделах. Вместе с тем периодический потенциал самым существенным образом влияет на особенности движения и энергию электронов в твердом теле, что позволило установить решение уравнения Шредингера.

В качестве простейшей модельной задачи рассмотрим одномерное движение электрона вдоль оси x при условии, что потенциальный рельеф представляет собой последовательность прямоугольных потенциальных барьеров одинаковой высоты и ширины , расположенных на равных расстояниях . Таким образом, в данной задаче мы имеем дело с периодической потенциальной функцией, причем период функции (рис. 11). Вид одномерного стационарного уравнения Шредингера хорошо известен из предыдущих разделов

Потенциальную функцию в соответствии с рис. 11 мы можем определить следующим образом

где — любое целое число (). Решение уравнения Шредингера в виде функции Блоха

где — периодическая функция решетки, следовательно

Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция . Для этого подставим данное представление для в уравнение Шредингера. При этом для областей между барьерами

для областей внутри барьеров

где , . Решения выписанных здесь уравнений есть соответственно

, ,

, .

Как обычно, для определения неизвестных постоянных , , , применим условия сшивания на границах подобластей

,

,

Подставляя в эти условия выписанные решения, получим алгебраическую систему четырех линейных однородных уравнений, относительно , , , :

Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо равенство нулю ее главного определителя. Это приводит к уравнению

Полученное уравнение связывает между собой волновое число и параметры и , содержащие собственные значения энергии . Решение данного уравнения весьма сложно. Поэтому мы упростим его, предполагая, что потенциальные барьеры имеют исчезающее малую ширину (приближение Кронига–Пенни). Пусть , а , но таким образом, чтобы произведение ширины барьера на высоту оставалось конечным. При этом и . Таким образом, последнее уравнение перепишется в виде

После преобразований последнее соотношение можно привести к виду

Рис. 12. Образование разрешенных энергетических зон

С учетом того, что в рассматриваемом приближении , можно положить . Поэтому последнее равенство приводится к виду

Обозначим эффективную площадь барьера при предельном переходе как

Окончательно придем к уравнению

На рис. 12 построена зависимость левой части уравнения от . Поскольку правая часть уравнения (30) не может по модулю превосходить единицу, то решения существуют лишь в интервалах значений аргумента левой части , для которых левая часть уравнения меньше 1. На рис. 12 эти интервалы заштрихованы. Поскольку параметр однозначно связан с энергией электрона, то существование допустимых интервалов его изменения порождает допустимые интервалы изменения энергии, называемые энергетическими зонами. Качественно энергетический спектр электронов в твердом теле показан на рис. 13. Главная черта энергетического спектра электронов в твердом теле — чередование разрешенных и запрещенных интервалов (зон) изменения энергии. Ширина разрешенных зон зависит от параметра P, характеризующего прозрачность потенциальных барьеров. Поэтому с уменьшение P ширина допустимых интервалов на рис. 12, а, следовательно, и ширина разрешенных энергетических зон возрастает. Рассмотрим два предельных случая, когда и . В первом случае барьеры становятся полностью прозрачными. При из (30) получаем или , Подставляя сюда выражение для , получим

где импульс электрона. Последняя формула соответствует свободному движению электрона, она была получена нами в разделе 1.2. Во втором предельном случае имеем полностью непрозрачные барьеры. При этом из (30) следует , т. е. , , откуда

,

что в точности совпадает с решением для электрона, «запертого» в потенциальной яме, полученным нами ранее. Итак, в случае сильной связи энергия электрона квантуется внутри разрешенной зоны. Можно показать, что это свойство имеет место, и в общем случае , однако в отличие от упомянутой потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками число энергетических уровней в разрешенной зоне конечно и равно N. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что энергетический спектр электронов в твердом теле (кристалле) представляет собой чередование разрешенных и запрещенных зон. При этом внутри разрешенных зон спектр энергий является дискретным.

Рис. 13. Схема заполнения энергетических зон электронов в твердом теле