Граничные условия для уравнения теплопроводности. Понятие о конвективном теплообмене

Для решения простейших задач теплопроводности мы можем использовать граничные условия первого рода, когда на границе расчетной области S задана температура .

С помощью условия граничного условия второго рода задается поток энергии на границе расчетной области S: . Поток может создаваться каким-либо внешним источником тепла.

Наряду с указанными условиями, в теории теплопроводности широко применяется граничное условие третьего рода, применяемое на границе раздела твердого тела с жидкостью или газом. Особенностью передачи тепловой энергии от твердой поверхности в газовую или жидкую среду является значительная роль течения, имеющего места вблизи нее. Нагревающийся у поверхности газ отводит от нее энергию не только теплопроводностью, но и переносом нагретых масс газа в области с более низкой температурой. Данный вид теплообмена носит название конвективного. Различают естественную и вынужденную конвекцию.

Естественная конвекция. При естественной конвекции поверхность твердого тела отдает часть своей тепловой энергии потоку окружающего газа, который формируется вследствие различия температур в области вблизи твердого тела.

Главной гипотезой, на которой основан анализ теплообмена в пристенном слое газа, является условие прилипания. Согласно данному предположению частицы (газа) жидкости, находящиеся в непосредственном контакте со стенкой, адсорбируются последней и теряют скорость — прилипают. Причем слой прилипшего газа можно считать бесконечно тонким. Данная гипотеза нашла подтверждения в совпадении опытных данных с теоретическими результатами, полученными на ее основе. Так как бесконечно тонкий слой газа вблизи поверхности неподвижен, то тепловой поток на границе стенки подчиняется закону Фурье

, (72)

где n — направление нормали к поверхности.

Рис. 36. К расчету теплоотдачи с поверхности вертикальной пластины: изменение толщины пограничного слоя по высоте пластины (слева); распределение температуры и вертикальной скорости в пограничном слое

Если конвективное движение происходит в большом объеме, то на течение газа вблизи некоторой поверхности не влияет свободное движение газа вблизи других объектов. Классическим примером таких условий течения является задача о теплоотдаче на поверхности неограниченной вертикальной пластины при ламинарном режиме течения газа (жидкости) (рис. 36).

Распределение вертикальной скорости у поверхности пластины характеризуется нулевыми значениями непосредственно на поверхности вследствие условия прилипания и за пределами пограничного слоя (). Для аппроксимации температуры в пределах пограничного слоя используется аппроксимация

, (73)

где — толщина пограничного слоя в некоторой точке x по высоте пластины (рис. 36), , — температура газа за пределами пограничного слоя, символом c отмечена точка на поверхности тела. Приближенное интегрирование не приведенных здесь уравнений течения газа вблизи пластины позволяет получить простое выражение для распределения вертикальной скорости в пограничном слое

,

где толщина пограничного слоя является функцией координаты x (рис. 36)

,

где — ускорение силы тяжести, — коэффициент вязкости газа (жидкости), — коэффициент теплового расширения газа. Вычисляя тепловой поток на границе тела в соответствии с (72) и дифференцируя (73) с учетом выражения для толщины пограничного слоя d, нетрудно получить

,

где

.

Таким образом, тепловой поток с поверхности пластины можно вычислить по формуле

, (74)

где — температура за пределами пограничного слоя. Коэффициент называется коэффициентом теплоотдачи. Выражение (74) представляет собой граничное условие третьего рода и дает значение теплового потока на твердой поверхности. В частности при свободной конвекции с ребристой поверхности изоляционных конструкций .

Рис. 37. Распределение скорости потока и температуры T в пограничном слое толщиной при вынужденной конвекции

При вынужденной конвекции газовый поток, которому поверхность отдает тепловую энергию, создается внешними источниками. Однако распределение скорости потока в пограничном слое отличается от случая естественной конвекции тем, что скорость вдали от поверхности не равна нулю (рис. 37).

Как и в случае естественной конвекции, поток на поверхности обтекаемого тела можно выразить с помощью формулы (74). Коэффициент теплоотдачи для различных условий обтекания можно найти в специальной литературе.