ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Ниже будут рассмотрены несколько задач на определение температурных полей для относительно простых геометрических и физических условий, которые допускают несложные по форме аналитические решения и вместе с тем дают полезную иллюстрацию характерных физических процессов, связанных с теплопередачей в твердом теле.

Рис. 38. Стационарные распределения температуры вдоль стержня

Рассмотрим стержень с термоизолированной боковой поверхностью (рис. 38). В этом случае теплопередача может осуществляться вдоль стержня. Если совместить стержень с осью декартовой системы координат, то стационарное уравнение теплопроводности будет иметь вид

При постоянных значениях коэффициента теплопроводности объемной мощности тепловыделения последнее уравнение можно дважды проинтегрировать

(75)

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий. Например, если на концах стержня задана температура , . Тогда из (75) имеем

Отсюда найдем постоянные интегрирования и . Решение при указанных граничных условиях получит вид

Из последней формулы видно, что при отсутствии источников тепловыделения . Температура в стержне меняется по линейному закону от одного граничного значения до другого

Рассмотрим теперь другое сочетание граничных условий. Пусть на левом конце стержня внешний источник создает тепловой поток . На правом конце стержня сохраним прежнее условие, таким образом, имеем

.

Выражая эти условия с помощью общего интеграла (75), получим систему относительно постоянных интегрирования

Найдя из полученной системы неизвестные постоянные, получим решение в виде

Как и в предыдущем примере при отсутствии внутренних источников тепловыделения распределение температуры вдоль стержня будет линейным

При этом температура на левом конце стержня, где расположен внешний источник тепла, будет равна .

В качестве следующего примера найдем стационарное распределение температуры по радиусу в сплошном длинном круговом цилиндре (рис. 39). Существенно упростит задачу в этом случае применение цилиндрической системы координат. В случае цилиндра с большим отношением длины к радиусу и постоянным распределени

Рис. 39. Распределение температуры по радиусу канала дугового разряда

ем внутреннего источника тепловыделения, температуру вдали от концов цилиндра можно считать независящей от осевой координаты цилиндрической системы . Тогда стационарное уравнение теплопроводности (71) получит вид

Двукратное интегрирование последнего уравнения (при постоянной ) дает

Условие симметрии распределения температуры на оси цилиндра () дает

Откуда имеем

Последнее условие будет выполнено при . Пусть на поверхности цилиндра () задана температура . Тогда можно найти вторую постоянную интегрирования из уравнения

Отсюда найдем и запишем решение в окончательном виде

В качестве численного примера применения полученного результата рассмотрим распределение температуры в плазме цилиндрического дугового разряда радиусом мм. Граница разрядного канала формируется как область, где прекращаются ионизационные процессы. Выше мы видели, что заметная ионизация газа при нагреве прекращается при K. Поэтому приведенное значение можно принять в качестве граничного K. Объемную плотность мощности тепловыделения в плазме разряда найдем из закона Джоуля–Ленца , где σ — электропроводность плазмы, E — напряженность электрического поля в канале разряда. Характерные для дугового разряда значения составляют 1/Ом м, В/м. Теплопроводность дуговой плазмы выше, чем в нейтральном газе, при температурах порядка 10000 К ее значение может принято равным . Таким образом, параметр . Распределение температуры по радиусу показано на рис. 39. При этом температура на оси разряда () составит 8000 K.

В следующем примере мы рассмотрим тепловое поле, обладающее сферической симметрией. Такие условия возникают, в частности, если источник тепловыделения малого размера размещен в крупном массиве, например межвитковое дуговое замыкание в обмотке крупной электрической машины. В этом случае совмещая центр сферической системы координат с источником тепловыделения мы можем привести стационарное уравнение теплопроводности (64) к виду:

Дважды интегрируя это уравнение, найдем

Рис. 40. Распределение температуры вблизи дугового замыкания в сферической полости

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что дуговое замыкание имеет место внутри сферической полости радиуса (рис. 40). Примем сопротивление дугового разряда равным Ом, ток разряда А. Тогда мощность, выделяемая в полости составит . Рассмотрим решение вне области действия источника тепловыделения .

Тогда интеграл уравнения теплопроводности упростится

Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся во-первых условием в бесконечно удаленных от места разряда точках , где C — температура окружающей среды. Из последнего выражения находим . Для определения постоянной примем, что выделяющаяся в разряде тепловая энергия равномерно распределяется по поверхности сферической полости радиуса . Поэтому тепловой поток на границе полости составит

Поскольку , то из двух последних уравнений имеем

а решение в окончательном виде

При этом температура на границе полости ( мм) при Вт/мК составит K (рис. 40).

Далее рассмотрим более сложные примеры расчета стационарных тепловых полей, имеющие непосредственное отношение к высоковольтной электроэнергетике и технике больших токов.

В качестве первого примера этой группы рассмотрим тепловое поле в сечении провода круглого сечения, имеющего канал охлаждения (рис. 41, а). Провода с каналами охлаждения применяют в обмотках мощных электрических машин и катушек для получения сильных магнитных полей. Для данных устройств характерно длительное протекание токов с амплитудой в сотни и даже тысячи Ампер. Например, прокачивается жидкость, например вода, или газ (водород, воздух), что обеспечивает отбор тепловой энергии с внутренней поверхности канала и охлаждение провода в целом. В данном случае мы имеем дело с принудительным конвективным охлаждением поверхности канала, для которой можно использовать обоснованное выше граничное условие третьего рода (67). Если совместить ось цилиндрической системы координат с осью провода, то температура будет зависеть только от радиальной координаты. Общий интеграл стационарного уравнения теплопроводности для этого случая был получен нами ранее

Объемная плотность мощности тепловыделения находится из закона Джоуля-Ленца: , j — плотность тока, σ — электропроводность,

где R — радиус сечения провода, a — радиус охлаждающего канала. Провод снаружи окружен слоями изоляции, обладающей, по сравнению с проводником, относительно низкой теплопроводностью. Поэтому в первом приближении примем внешнюю поверхность провода теплоизолированной, т. е. тепловой поток на ней

На поверхности охлаждающего канала тепловой поток определяется условием третьего рода

где — коэффициент теплоотдачи, — температура охлаждающего потока. Знак минус в правой части взят вследствие того, что нормаль к внутренней поверхности канала направлена в противоположном к оси направлении.

Подставляя в первое из выписанных граничных условий выражение для температуры (76), получим

откуда . Второе граничное условие дает

откуда находим

Вместе с тем из (76)

Сравнивая последние два выражения, найдем

После подстановки найденных постоянных в общее решение (76) и преобразований получим

Температура на границах сечения провода из полученного решения будет рассчитываться по формулам

Распределение температуры по радиусу сечения для провода с каналом охлаждения с параметрами: A, Вт/мК, 1/Ом м, ^оС, мм, см показано на рис. 41, б.

Из рис. 41, б следует, что в пределах сечения провода изменение температуры относительно мало по сравнению с ее средней величиной, что объясняется высокой теплопроводностью λ и относительно малыми размерами сечения провода.

а) б) Рис. 41. Распределение температуры в сечении провода с каналом охлаждения

Иная ситуация возникает в распределении температуры вдоль провода, состоящего из отдельных участков, контактирующих друг с другом. Ухудшение качества контактов между соединяемыми проводниками приводит к повышению тепловыделения в месте соединения двух проводов по сравнению с самим проводом. Дистанционное измерение температуры провода с помощью тепловизоров или пирометров позволяет диагностировать качество контактных соединений.

Рассчитаем распределение температуры вдоль провода при наличии дефектного контакта. Предыдущий пример показал, что даже в самых жестких условиях изменение температуры в пределах сечения провода весьма мало. Поэтому для нашего расчета можно в первом приближении принять распределение температуры в пределах сечения провода однородным. Распределение тепловыделения вдоль провода зависит от распределения электрического сопротивления вдоль провода, которое однородно вдали от контакта и возрастает при приближении к нему. Совместим ось декартовой системы координат с осью провода, а начало координат — с центром контактной области (рис. 42). В качестве модели распределения сопротивления вдоль провода возьмем следующее распределение погонного сопротивления

[Ом/м],

где , — параметр, характеризующий линейный размер контактной области . Мощность тепловыделения на единицу длины провода составляет . В расчете на единицу объема мощность тепловыделения равна

где S — сечение провода. Охлаждение провода осуществляется естественной конвекцией с его поверхности. Конвективный тепловой поток с единицы длины провода есть

где α — коэффициент теплоотдачи, — температура окружающего воздуха, p — периметр сечения провода. Теплоотдача в окружающую среду в расчете на единицу объема проводника составит

Стационарное распределение температуры вдоль провода будет подчиняться уравнению теплопроводности

Для дальнейших преобразований полученного уравнения примем постоянным вдоль провода коэффициент теплопроводности , подставим полученные выше выражения для и , а также в качестве искомой функции вместо T возьмем :

где . Далее обозначив

и ,

придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

. (77)

Решение полученного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения

и частного решения в форме правой части

.

Таким образом, решение будет иметь вид

, (78)

где четыре постоянных коэффициента подлежат определению. Поскольку решение должно быть ограниченным при , следует положить . Еще одним условием является симметрия распределения температуры относительно точки контакта

Это условие (при ) дает

.

Далее, подставляя (71) в исходное уравнение (70), получим

Приравнивая коэффициенты при однородных слагаемых в левой и правой части последнего равенства, получим еще два уравнения для определения постоянных интегрирования. При этом с учетом первого условия будем иметь следующую систему для определения констант

решив которую, найдем

, , .

Решение уравнения (70), таким образом, будет иметь вид

Выражение в квадратных скобках в (72) при стремится к нулю. Величина определяет температуру провода вдали от контакта :

Откуда найдем температуру на удалении от контакта

Последняя формула удобна для оценки нагрева провода, охлаждаемого в естественных условиях. Погонное электрическое сопротивление есть , — электропроводность материала провода. Коэффициент теплоотдачи на открытом воздухе
. Температура провода составит

Последняя формула ясно указывает на факторы, влияющие на снижение нагрева провода. Это увеличение его поперечного сечения S и электропроводности материала провода, которые ведут к снижению тепловыделения, увеличение периметра сечения или, что то же, увеличение развитости поверхности провода, которое ведет к росту теплоотвода с поверхности. Возвращаясь к найденному распределению температуры вдоль провода, можно переписать его в исходных переменных и параметрах

Заметим, что характерные значения показателей экспонент в квадратных скобках и сильно различаются. В частности для круглого медного ( Вт/м∙ К, 1/Ом∙ м) провода диаметром 1 см при , м^-1. Размер контактного соединения Δ по порядку величины равен диаметру провода. Поэтому м^-1. Таким образом, вторая экспонента в квадратных скобках последнего выражения очень быстро затухает по сравнению с первой, и выражение для распределения температуры с небольшой потерей точности можно упростить, учтя также, что

Рис. 42. Распределение температуры вдоль провода в области контакта

Распределение температуры вдоль провода вблизи контакта для описанного примера при , ^oC, рассчитанное по последней формуле, показано на рис. 42.