Уравнение движения. Тензор напряжений

При выводе уравнения движения деформируемого твердого тела будем действовать аналогично рассмотренному в разделе 4.3 уравнению движения жидкости и газа. Выделим в деформируемом твердом теле некоторый объем , массой Δ m (рис. 25) и запишем для него уравнение второго закона Ньютона, разделяя действующие на него силы на поверхностные и объемные

Напомним, что в правой части уравнения фигурирует полная объемная сила и полная поверхностная сила, возникающая как результат воздействия со стороны пограничных с рассматриваемым объемов. Полная поверхностная сила может быть сведена к объемному интегралу.

где — поверхностная плотность силы, — объемная плотность внутренних сил (сил, действующих между элементами среды внутри выделенного объема). Физическое обоснование преобразования объемного интеграла внутренних сил в поверхностный состоит в том, что для любой пары граничащих друг с другом элементов внутри выделенного объема среды силы взаимного действия их друг на друга равны и противоположны по знаку. Поэтому отличная от нуля составляющая полной поверхностной силы возникает только как результат действия сил со стороны элементов среды, окружающих выделенный объем.

Представим плотность внутренних сил покомпонентно

Тогда

Для того чтобы каждый из трех интегралов в правой части последнего выражения мог быть преобразован в поверхностный, подынтегральную скалярную функцию можно представить в виде дивергенции некоторого вектора

, , ,

где векторы , , в проекциях имеют вид

Рис. 32. К определению компонент тензора механических напряжений

Числа образуют матрицу, называемую тензором напряжений

Первый индекс у компонента обозначает ось координатной системы, вдоль которой действует напряжение. Второй индекс указывает ось, которой перпендикулярна площадка, к которой приложено напряжение, а значение компонента дает величину силы на единицу площади (рис. 32). Из определения компонент тензора напряжения следует, что компоненты с одинаковыми значениями индексов xx, yy, zz описывают напряжения, действующие по нормали к площадкам, остальные компоненты — касательные.

По аналогии с тензором деформаций тензор напряжений можно разложить на шаровую часть и девиатор , где — шар:

, ,

где — среднее напряжение, равное с обратным знаком гидростатическому давлению. — девиатор

.

Конкретные механические свойства среды, составляющей деформируемое твердое тело, определяются уравнениями, связывающими тензоры напряжений и деформаций, являющиеся аналогами уравнения состояния, задающими свойства газов и жидкостей. Простейшей и широко распространенной моделью деформируемого твердого тела при малых деформациях является закон Гука, формулирующий линейную зависимость между указанными тензорами. При этом удобно использовать раздельные связи между шаровыми и девиаторными составляющими тензоров напряжений и деформаций

(65)

,

,

где постоянные K — модуль объемного сжатия, G — модуль сдвига. Эти характеристики среды связаны с известными из курса «Сопротивление материалов» модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν соотношениями

Возвращаясь к уравнению движения выделенного объема (64), мы можем теперь представить его правую часть в виде объемных интегралов

Разделим каждое из этих уравнений на . Тогда при стягивании выделенного объема в точку будем иметь

Подставляя эти пределы в предыдущие уравнения и раскрывая выражения для , получим следующие уравнения

Наконец вспоминая, что скорость точек тела v связана с перемещением u очевидным образом , преобразуем уравнения движения к окончательному виду

Здесь учтено, что при малых деформациях конвективные слагаемые в выражении для полной производной по времени имеют второй порядок малости. Поэтому .