УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): . Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим

Поскольку , то

.

В соответствии с уравнением неразрывности , поэтому

.

Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м³, описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.

Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид

(58)

Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:

1. Идеальный газ: , где — постоянная Больцмана, n — концентрация частиц в газе, M — масса частицы.

2. Несжимаемая жидкость:

3. Вода при высоких давлениях , где , — давление и плотность при нормальных условиях.

Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем

,

где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия . Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа в уравнение энергии получим

,

откуда

, ,

где и — постоянные. Последнему равенству можно придать вид , где — показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий . В результате уравнение адиабаты получит вид

У газа с тремя степенями свободы . На практике степенная зависимость давления от плотности, удобная при расчетах, используется для аппроксимации реальных характеристик газов, получаемых экспериментально. Параметр при этом называется эффективным показателем адиабаты, а число — эффективное число степеней свободы. Например, водяной пар при температуре около 10000^оК и давлении Па имеет . Этому показателю адиабаты соответствует . Столь высокое число степеней свободы свидетельствует о том, что молекулы помимо поступательного движения совершают вращение и испытывают колебания, т. е. у них возбуждены «внутренние» степени свободы.