УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Условие сплошности среды означает отсутствие разрывов в ней. Исходя из этого, можно получить уравнение, выражающее собой закон сохранения массы.

Для этого в декартовой системе неподвижных (эйлеровых) координат выделим малый элемент в форме параллелепипеда с гранями (рис. 26). Изменение массы вещества в параллелепипеде с объёмом равно , где — плотность. Оно обусловлено разностью потоков вещества, втекающего в выделенный объём и вытекающего из него. Рассмотрим эти потоки. Масса вещества, втекающего в единицу времени в данный объем через грань АВСD площадью есть ,

Рис. 26. К выводу уравнения неразрывности в координатах Эйлера

где — нормальная составляющая к площадке . Масса, вытекающая через противоположную грань, есть . К изменению массы вещества, содержащегося в выделенном элементе пространства приводит разность между втекающей и вытекающей массой. Изменение, обусловленное потоком, вдоль оси x есть

Раскрывая скобки в последнем выражении и пренебрегая слагаемыми высшего порядка малости, получим:

Вычисляя аналогично разности потоков массы через остальные грани, находим полное изменение массы вещества в единицу времени

Откуда, сокращая на получим уравнение неразрывности сплошной среды

=0. (53)

Факт «неразрывности среды», отсутствие скачков потока вещества существенным образом использован при выводе уравнения (53): только для непрерывной функции допустимо разложение в ряд Тейлора. Раскрывая выражение , имеем

(53ʹ)

Выражение, стоящее слева, определяет полную субстанциональную производную плотности по времени. Поэтому уравнение (53) можно записать, используя полную производную плотности по времени:

(54)

В качестве примера, иллюстрирующего физический смысл полной производной , можно рассмотреть стационарный во времени поток, когда . Полная производная при этом , т. к. изменение параметров элемента среды, находящегося в данной точке эйлеровой системы координат, происходит за счет того, что элемент смещается в эту точку из той, в которой он находился, и где значения дифференцируемого параметра были иными.

Наличие субстанциональной производной характерно для эйлеровой системы отсчета, в которой суть координаты точки наблюдения, через которую проходят разные элементы среды. Напротив, в лагранжевой системе отсчета координаты характеризуют положение выделенного («окрашенного») элемента жидкости и, если он движется, они зависят от времени. Закон сохранения массы в форме Лагранжа принимает простой вид:

, (55)

где , — элемент объема. Покажем, что уравнение неразрывности (54) может быть получено из лагранжевой формулировки (55) путем формальных преобразований. После дифференцирования в (55) и деления на получим

Пусть элемент среды имеет вид параллелепипеда со сторонами , , (рис. 27). Тогда

. (56)

Рис. 27. К выводу уравнения неразрывности в координатах Эйлера

Концы сторон параллелепипеда имеют координаты и т. д., длины сторон , , . При движении элемента среды , а предел отношения при есть , где — скорость элемента среды, находящегося в точке с фиксированными (эйлеровыми) координатами . Аналогично преобразуются и другие слагаемые в уравнении (56), и в сумме они дают . Закон сохранения массы (55) примет, таким образом, вид

Второй член уравнения в полученном уравнении записан уже в эйлеровой системе координат: в нем фигурируют величины , относящиеся к фиксированной точке среды, в которой элемент находится в момент времени t. Сравнивая полученное уравнение и (53ʹ), видим, что субстанциональная производная плотности есть ее полная производная по времени. В этом можно убедиться и другим способом

В полученной формуле — лагранжевы координаты элемента среды. Таким образом, обе формы закона сохранения массы равноценны.

4.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
(УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)

Уравнение движения сплошной среды можно получить исходя

из второго закона Ньютона. Для этого выделим в движущейся среде элемент объема с фиксированной массой (рис. 28). Применяя к выделенному (достаточно малому) элементу второй закон Ньютона, запишем:

.

Рис. 28. К выводу уравнения движения сплошной среды

Слева в этом выражении использована полная производная по времени. В правой части последнего равенства имеется два слагаемых, наличие которых обусловлено тем, что в сплошной среде имеет место два рода сил — поверхностные и объемные. Объемные силы действуют на выделенный элемент сплошной среды вне зависимости от того, имеется ли контакт данного элемента с остальной жидкостью. Эти силы останутся неизменными, если, например охватить рассматриваемый элемент непроницаемой твердой стенкой или отделить от остальной части среды узким вакуумным зазором. Примеры объемных сил — гравитационная, электромагнитная силы.

Поверхностные силы, напротив, действуют на данный малый элемент среды через его границы. Они могут быть направлены по нормали к данной поверхности (гидростатическое давление) и по касательной к ней (силы трения). В силу того, что произвольно выделенный малый элемент сплошной среды имеет множество возможных направлений нормали и касательной к своей поверхности, для полного описания поверхностных сил следует вводить тензорные величины, характеризующиеся шестью независимыми компонентами, например тензор механических напряжений. В простейшем случае идеальной жидкости, когда внутреннее трение отсутствует, поверхностные силы создаются только гидростатическим давлением и направлены всегда по нормали. Для идеальной жидкости справедлив закон Паскаля: на каждый элемент поверхности S действует сила, направленная по нормали внутрь этой поверхности и равная , где P — давление:

Полная поверхностная сила есть

Представим выражение для поверхностной силы в виде

,

где , , . Поэтому выражение для поверхностной силы можно представить как

. (57)

В соответствии с теоремой Остроградского–Гаусса для любой векторной величины справедливо равенство:

,

где — замкнутый объем, ограниченный поверхностью . Применяя последнее свойство векторной величины к каждому слагаемому в правой части (57)

=

.

Полная объемная сила, действующая на выделенный объем, есть

,

где — плотность объемной силы. Уравнение движения теперь принимает вид

При стягивании объема в точку можно написать

, ,

И с учетом последних выражений получим

Последнее уравнение описывает движение идеальной (невязкой) жидкости.