Распространение малых колебаний в газе. Уравнения акустики

Рассмотрим малые колебания, распространяющиеся в газе в направлении оси . При одномерном движении первые два уравнения системы (58) принимают вид

, (59)

.

Если амплитуда колебаний мала, то мала и скорость движения частиц, поэтому в последних двух уравнениях члены будут иметь второй порядок малости и их можно отбросить. Рассмотрим адиабатический режим, когда . Тогда , где , где — начальная плотность, — начальное давление. Поскольку , где , можно в уравнениях системы (59) приближенно заменить на . Кроме того,

, .

После преобразований получаем линеаризованную систему уравнений

,

.

Исключая , приходим к волновому уравнению для :

,

где — скорость распространения акустических колебаний (скорость звука). Общее решение полученного уравнения имеет вид, характерный для решений волновых уравнений

.

Это возмущение, распространяющееся в положительном (при знаке «–») или в отрицательном (при знаке «+») направлении со скоростью . Скорость распространения малых колебаний в среде (скорость звука) можно связать с тепловой скоростью частиц . Для газа с тремя степенями свободы ()

,

где T — абсолютная температура, n — концентрация и масса частиц газа. Отсюда видно, что скорость распространения возмущения в газе близка к тепловой скорости частиц.