Уравнения движения и распространения колебаний в деформируемом твердом теле

Система уравнений (66) совместно с соотношениями, связывающими напряжения и деформации (65), и между деформациями и перемещениями может быть решена относительно перемещений, по которым могут быть вычислены все необходимые характеристики напряженного состояния в точках твердого тела — перемещения, деформации и напряжения. Рассмотрим на основе представленной выше математической модели распространение волн в упругой сплошной среде. Данная задача представляет интерес при проектировании устройств, предназначенных для ударной очистки поверхностей от инородных веществ, когда с помощью импульсного электромагнитного устройства в упругой среде возбуждаются волны механических колебаний необходимой интенсивности. В процессе распространения такой волны вдоль границы раздела металла и загрязнения возникают механические напряжения, достаточные для разрушения этого механического контакта.

Рис. 33. Распространение упругой волны в пространстве вдоль оси x

В качестве первого примера рассмотрим распространение плоской упругой волны в неограниченном пространстве вдоль оси x. При этом оси y и z можно сориентировать в плоскости, перпендикулярной оси x, таким образом, что компонента вектора перемещения, перпендикулярная направлению распространения волны, будет иметь лишь одну отличную от нуля проекцию, например, (рис. 33).

Как видно из рис. 33, при распространении упругой волны имеет место два типа смещений в среде. Для первого типа характерно смещение частиц () упругого тела вдоль линии распространения волны — продольные колебания. Второй тип колебаний создается поперечными по отношению к линии распространения волны смещениями (). Напомним, что в отличие от механических волн в электромагнитной волне присутствуют только поперечные колебания. Поскольку в данном примере имеют место только две компоненты вектора перемещений, то и для решения потребуется лишь два уравнения из системы (66). При этом будем предполагать, что объемные силы отсутствуют, и упругая волна является плоской, т. е. все частные производные по y и z тождественно равны нулю. Тогда уравнения динамики упругого тела (66) в исследуемом примере примут вид

.

Компоненты тензора деформации в соответствии со сделанными предположениями будут иметь следующий вид

, .

При разложении на шар и девиатор получим

Далее по закону Гука

Складывая тензоры, получим для напряжений

, .

При этом уравнения динамики примут вид

,

где , — параметры, определяющие скорости распространения колебаний в упругой среде, поскольку полученные уравнения являются волновыми уравнениями относительно компонент вектора перемещений и соответственно. При этом можно интерпретировать, как скорость распространения продольных, а — поперечных колебаний. Поскольку , то продольные колебания распространяются несколько быстрее, чем поперечные. Общее решение волновых уравнений, как обычно, представляется в виде

, .

В курсе теории упругости доказывается, что вектор перемещения всегда может быть представлен в виде суммы , где направлен вдоль линии распространения волны, а лежит в плоскости, перпендикулярной этой линии. При этом для каждой компоненты указанных векторов справедливо волновое уравнение

,

где в качестве скорости распространения c фигурирует соответствующая выбранному вектору либо продольная , либо поперечная скорость звука в твердом теле.

Рассмотрим теперь распространение упругих волн вдоль поверхности упругой сплошной среды. Поскольку в данном примере область распространения волны является полупространством, ограниченным плоскостью x 0 z, то искомые компоненты вектора перемещений зависят от двух пространственных переменных. Компонента некоторого вектора перемещений в общем случае представима в виде функции , а волновое уравнение при учете однородности распределения всех параметров вдоль оси z можно представить в виде

. (67)

Будем искать решение последнего уравнения в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, амплитуда которой зависит от удаления от поверхности полупространства, т. е. от y:

,

где k и ω — соответственно волновое число и круговая частота колебаний упругой волны, i — мнимая единица. Подставляя последнее выражение в (67), получим дифференциальное уравнение относительно f (y):

В зависимости от знака выражения решение последнего уравнения будет иметь различные типы. В частности при , когда , решение представляется гармоническими функциями. Это означает, что описывает волну, распространяющуюся в направлении y в глубину полупространства. В противоположном случае, когда , решение последнего уравнения описывает экспоненциально затухающую в глубину полупространства зависимость: . Отсюда следует, что для частот, удовлетворяющих неравенству , возникает режим поверхностной волны, когда деформации и энергия волны сосредотачиваются вблизи поверхности полупространства в области с характерной толщиной Отсюда следует, что явление поверхностной волны характерно для относительно низкочастотных колебаний. Хорошо известно, в частности, что низкочастотные составляющие колебаний земной коры, возникающие в результате землетрясений и ядерных взрывов, способны распространяться в поверхностном слое земли на многие тысячи километров.

Это объясняется тем, что энергия упругих деформаций концентрируется в относительно тонком слое вблизи поверхности, а не рассеивается при распространении волны в глубину полупространства. Поэтому при использовании поверхностной волны в технологических процессах весьма важно, чтобы доля низкочастотных составляющих в волновом спектре, для которых , была бы преобладающей. Более полный анализ поверхностных волн показывает, что поверхностная волна характеризуется более низкой скоростью распространения по сравнению со скоростями распространения продольных и поперечных колебаний в неограниченном пространстве, т. е.
На рис. 34 показано распространение упругой волны, возбуждаемой в плоском стальном массиве силой, приложенной в точке и изменяющейся по закону , ,

Рис. 34. Распространение упругой волны в плоском слое