Теория деформации

Рис. 31. Эволюция элементарного волокна в твердом теле от недеформированного состояния (штриховые линии) к деформируемому

В отличие от жидкостей и газов механические напряжения в деформируемом твердом теле определяются не скоростью, а самой величиной деформации. Обычно для расчетов механических напряжений в твердом теле достаточно ограничиться моделью малых деформаций. При деформации твердого тела его точки перемещаются из начального положения в некоторое конечное. Перемещение точек твердого тела в результате деформации обозначим вектором . Для определения меры деформации выделим в твердом теле волокно малой длины (рис. 31), квадрат длины которого запишется как

.

После деформации длина и ориентация волокна изменится, квадрат длины выделенного волокна после деформации будет равен

,

где , , . Соответственно

Вычислим разность

Подставляя значения выражения для штрихованных дифференциалов, получим

Раскрывая скобки в последнем выражении в предположении малых компонент вектора перемещений u (режим малых деформаций) и пренебрегая членами с высшим (четвертым) порядком малости, получим

Введем обозначения

.

В результате разность квадратов длины волокна после и до деформации можно выразить более компактной формулой

После перегруппировки слагаемых под знаком сумм последнее выражение преобразуется к виду

Поскольку в правой части последнего выражения есть приращения независимых переменных (координат), искомую разность квадратов, а фактически деформацию определяют множители при них

Коэффициенты образуют матрицу, называемую тензором малых деформаций

Тензор деформаций удобно представить в виде суммы двух матриц

,

где

.

Диагональная матрица e носит названия шара или шаровой части тензора деформации, ее коэффициенты e являются средней деформацией, матрица D (ε) называется девиатора тензора ε;. Нетрудно установить физический смысл такого представления тензора деформации. Дифференцируя среднюю деформацию по времени получим

Вспоминая уравнение неразрывности (47) получаем

где — удельный объем.Отсюда видно, что шаровая часть тензора зависит только от объема, но не от формы. Следовательно, шаровая часть тензора деформации описывает объемную деформацию, в то время как девиатор D (ε) описывает изменение формы при неизменном объеме.