Использование способов парной корреляции для изучения стохастических зависимостей

Одной из основных задач корреляционного анализа является определение влияния факторов на величину результативного пока­зателя (в абсолютном измерении). Для решения этой задачи подби­рается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямоли­нейной, криволинейной и т.д.). Это играет важную роль в корреля­ционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависят ход решения задачи и результаты расчетов.

Обоснование уравнения связи делается с помощью сопоставления параллельных рядов, группировки данных и линейных графиков. Размещение точек на графике покажет, какая зависимость обра­зовалась между изучаемыми показателями — прямолинейная или криволинейная.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямо­линейную зависимость между двумя показателями, является урав­нение прямой

У_х = а + Ьх, (6.1)

где х — факторный показатель;

У— результативный показатель;

а и Ь — параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать.

Это уравнение описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением на определенную величину факторного показателя наблюдается равномерное возрастание или убывание значений результативного показателя. Для иллюстрации корреля­ционного анализа прямолинейной зависимости могут быть ис­пользованы сведения об изменении урожайности зерновых культур (У) в зависимости от качества пахотной земли (х) (см. табл. 4.8).

Значения коэффициентов я и /> находят из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов. В данном случае система уравнений имеет следующий вид:

 

 

где п — количество наблюдений (в нашем примере — 20).

Значения ∑x, ∑y, ∑x², ∑xy рассчитывают на основании факти­ческих исходных данных (табл. 6.1).

 

124

125

V:.-.'

Таблица 6.1

Расчет производных величин для определения параметров уравнения связи и коэффициента корреляции

 

п	X	y	ху	X2	У2	Y,
		19,5			380,25	19,8
		19,0			361,00	20,2
		20,5			420,25	21,0
		33,0			1089,00	31,0
Итого		500,0	22 900	41 500	12 860,0	500,0

Подставим полученные значения в систему уравнений:

 

Умножив все члены первого уравнения на 45 (900: 20), получим следующую систему уравнений:

 

Отнимем от второго уравнения первое. Отсюда 1000b = 400; b = 0,4;

 

 

В итоге уравнение связи, которое описывает зависимость уро­жайности от качества почвы, будет иметь следующий вид:

Y_x = 7.0 + 0.4x.

Коэффициент а — постоянная величина результативного пока­зателя, которая не связана с изменением данного фактора. Пара­метр b показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины факторного показателя на единицу его измерения. В данном примере с увеличением каче­ства почвы на один балл урожайность зерновых культур повыша­ется в среднем на 0,4 ц/га.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выравненные (теоретические) значения резуль­тативного показателя (Y) для каждого предприятия. Например, для первого предприятия, где качество почвы оценивается 32 баллами, урожайность зерновых культур составит

У_х = 7 + 0,4 -32 = 19,8 ц/га.

Полученная величина показывает, какой была бы урожайность при качестве почвы 32 балла, если бы данное предприятие использо­вало свои производственные возможности в такой степени, как в среднем все предприятия района. Аналогичные расчеты сделаны для каждого наблюдения. Данные приведены в последней графе табл. 6.1. Сравнение фактического уровня урожайности с расчетным позволяет оценить результаты работы отдельных предприятий.

По такому же принципу решается уравнение связи при криволи­нейной зависимости между изучаемыми явлениями. Если при уве­личении одного показателя значения другого возрастают до опре­деленного уровня, а потом начинают снижаться (например, зави­симость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка

Y_x = а + Ьх + сх². (6.2)

В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров a, b и с необходимо решить следу­ющую систему уравнений:

 

 

.

Значения ∑x, ∑y, ∑xy, ∑x²,∑x³, ∑x⁴ находят на основании исходных данных (табл. 6.2).

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим

 

 

Параметры а, 6 и с находят способом определителей или спосо­бом исключения. Используем способ определителей. Сначала найдем общий определитель:

 

127

;

затем найдем частные оределители

 

 

Отсюда

 

 

Уравнение параболы получило следующее выражение:

У_х= -2,67 + 4,424х- 0,561x-².

Параметры полученного уравнения экономического смысла не имеют. Если подставить в данное уравнение соответствующие зна­чения л;, то получим выравненные значения производительности труда в зависимости от возраста рабочих. Результаты приведены в последней графе табл. 6.2.

Таблица 6.2 Зависимость производительности труда (Y) от возраста работников (Л)

 

X	У	х/10	ху	Xs	х2у	X3	X4	Ух
	4,2	2,0	8,4	4,00	16,8	8,0		3,93
	4,8	2,5	12,0	6,25	30,0	15,62		4,90
	5,3	3,0	15,9	9,00	47,7	27,00		5,55
	6,0	3,5	21,0	12,25	73,5	42,87		5,95
	6,2	4,0	24,8	16,00	99,2	64,00		6,05
	5,8	4,5	26,1	20,25	117,4	91,13		5,90
	5,3	5,0	26,5	25.00	132,5	125,00		5,43
	4,4	5,5	24,2	30,25	133,1	166,40		4,78
	4,0	6,0	24,0	36,00	144,0	216,00		3,70
Всего	46,0	36,0	183,0	159,00	794,0	756,00		46,00

Из таблицы видно, что производительность труда рабочих повы­шается до 40-летнего возраста, после чего начинает снижаться. Зна­чит, те предприятия, которые имеют больше работников 30—40-лет-

него возраста, будут иметь и более высокие показатели производи­тельности труда при прочих равных условиях. Этот фактор необходимо учитывать при планировании уровня производитель­ности труда и при подсчете резервов ее роста.

Довольно часто в экономическом анализе для записи криволи­нейных зависимостей используется гипербола

(6.3)

 

Для определения ее параметров необходимо решить следующую систему уравнений:

Гипербола описывает такую зависимость между двумя пока­зателями, когда при увеличении одной переменной значения дру­гой увеличиваются до определенного уровня, а потом прирост снижается, например зависимость урожайности от количества внесенного удобрения, продуктивности животных от уровня их кормления, себестоимости продукции от объема производства и т.д.

При более сложном характере зависимости между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, чет­вертого порядка и т.д.), а также квадратические, степенные, пока­зательные и другие функции.

Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости между изуча­емыми явлениями, т.е. узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении изменяется величина результативного показателя с из­менением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не дает ответа на вопрос, тесная это связь или нет, решающее воз­действие оказывает данный фактор на величину результативного показателя или второстепенное.

Для измерения тесноты связи между факторными и результа­тивными показателями исчисляется коэффициент корреляции. В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показате­лями он рассчитывается по следующей формуле:

 

128

129

 

Подставив значения ∑xy,∑x,∑x²,∑y,∑y² в формулу из табл. 6.1, получим его значение, равное 0,66:

 

Коэффициент корреляции может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе его величина к единице, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является существенной (/- = 0,66). Это позволяет сделать вывод о том, что качество почвы — один из ос­новных факторов, от которых в данном районе зависит уровень урожайности зерновых культур.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации (d — 0,435). Он показывает, что уро­жайность зерновых культур на 43,5% зависит от качества почвы, а на долю других факторов приходится 56,5% ее прироста.

Что касается измерения тесноты связи при криволинейной форме зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционное отношение, формула которого име­ет следующий вид:

где

 

 

 

Формула (6.6) является универсальной. Ее можно применять для исчисления коэффициента корреляции при любой форме за­висимости. Однако при этом вначале необходимо решить уравне­ние регрессии и рассчитать выравненные значения результативно­го показателя (У_х) для каждого наблюдения, а также квадраты отклонений фактических значений 7 от его среднего и выравнен­ного уровней (табл. 6.3).

 

 

Таблица 6.3

Расчет исходных данных для определения корреляционного отношения при криволинейной зависимости

 

Y	у*	Y-Y	(Y - Y)2	у-у,	(V-У,)8
4,2	3,93	-0,9	0,81	+0,27	0,073
4,8	4,90	-0,3	0,09	-0,10	0,010
5,3	5,55	+0,2	0,04	-0,25	0,062
6,0	5.95	+0,9	0,81	+0,05	0,003
6,2	6,05	+ 1,1	1,21	+0,15	0,022
5.8	5,90	+0,7	0,49	-0.10	0,010
5,3	5,43	+0,2	0,04	-0,13	0,017
4,4	4,78	-0,7	0,49	-0,38	0,144
4,0	3,70	-1,1	1.21	+0,30	0.090
	46,0	—	5.19	—	0,431

Подставив полученные значения в формулу (6.6), определим ве­личину корреляционного отношения, характеризующего тесноту связи между производительностью труда и возрастом рабочих:

 

 

В заключение необходимо отметить, что мы рассмотрели ис­пользование способов парной корреляции только на двух приме­рах. Однако эта методика может быть использована для исследо­вания соотношений между разными экономическими показателя­ми, что позволяет значительно углубить знания об изучаемых явлениях, оценить место и роль каждого фактора в изменении уровня исследуемого показателя.