Методика множественного корреляционного анализа

Экономические явления и процессы хозяйственной деятельно­сти предприятий зависят от большого количества факторов, и как правило, только комплекс факторов в их взаимосвязи может дать более или менее полное представление о характере изучаемого яв­ления.

Многофакторный корреляционный анализ состоит из несколь­ких этапов.

На первом этапе определяются факторы, которые оказывают воздействие на изучаемый показатель, и отбираются наиболее су­щественные для корреляционного анализа.

 

130

131

V

На втором этапе собирается и оценивается исходная информа­ция, необходимая для корреляционного анализа.

На третьем этапе моделируется связь между факторным и ре­зультативным показателями, т.е. подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое наиболее точно выражает сущ­ность исследуемой зависимости.

На четвертом этапе рассчитываются основные показатели свя­зи корреляционного анализа.

На пятом этапе дается статистическая оценка результатов кор­реляционного анализа и производится практическое их примене­ние.

Отбор факторов для корреляционного анализа ~ очень важный момент: от того, насколько правильно отобраны факторы, зависят конечные результаты анализа. Главная роль при отборе факторов принадлежит теории, а также практическому опыту анализа. При этом необходимо придерживаться следующих правил.

1. В первую очередь следует учитывать причинно-следственные связи между показателями, ибо только они раскрывают сущность изучаемых явлений. Анализ же таких факторов, которые находят­ся только в математических соотношениях с результативным по­казателем, не имеет практического смысла.

2. При создании многофакторной корреляционной модели не­обходимо отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель, так как ох­ватить все условия и обстоятельства практически невозможно. Фак­торы, которые имеют критерий надежности по Стьюденту меньше табличного, не рекомендуется принимать в расчет.

3. В корреляционную модель линейного типа не рекомендует­ся включать факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер.

4. Нельзя включать в корреляционную модель взаимосвязан­ные факторы. Если парный коэффициент корреляции между дву­мя факторами больше 0,85, то по правилам корреляционного ана­лиза один из них необходимо исключить, иначе это приведет к искажению результатов анализа.

5. Не рекомендуется включать в корреляционную модель фак­торы, связь которых с результативным показателем носит функ­циональный характер.

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и динамических рядов, линейные графики. С их по-

мощью можно определить наличие, направление и форму зависи­мости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента.

Учитывая перечисленные требования и используя названные способы отбора факторов, для многофакторной корреляционной модели уровня рентабельности (У) подобраны следующие факто­ры, оказывающие наиболее существенное влияние на ее уровень:

х_[ — материалоотдача, руб.;

х₂ — фондоотдача, коп.;

х₃ — производительность труда (среднегодовая выработка про­дукции на одного работника), тыс. руб.;

х₄ — продолжительность оборота оборотных средств предпри­ятия, дни;

х₅ — удельный вес продукции высшей категории качества, %.

Поскольку корреляционная связь достаточно полно проявля­ется только в массе наблюдений, объем выборки данных должен быть достаточно большим, так как только в массе наблюдений сглаживается влияние других факторов. Чем большая совокупность объектов исследуется, тем точнее результаты анализа.

Учитывая это требование, влияние перечисленных факторов на уровень рентабельности исследуется на примере 40 предприятий.

Собранная исходная иноЬормаиця по каждому факторному и ре­зультативному показателю должна быть проверена на точность, на однородность и на соответствие закону нормального распределе­ния.

В первую очередь необходимо убедиться в достоверности ин­формации, соответствии ее объективной действительности, по­скольку использование недостоверной информации приведет к неточным результатам анализа и к неправильным выводам.

Информация должна быть однородной относительно ее распре­деления около среднего уровня. Если в совокупности имеются группы объектов, которые значительно отличаются от среднего уровня, то это говорит о неоднородности исходной информации.

Критерием однородности информации являются среднеквад-ратическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчи­тываются по каждому факторному и результативному показате­лю.

Средиеквадратическое отклонение показывает абсолютное от­клонение индивидуальных значений от среднеарифметической. Его значение определяют по формуле

 

132

133

(6.7)

 

 

Коэффициент вариации показывает относительную меру от­клонения отдельных значений от среднеарифметической. Он рас­считывается по формуле

(6.8)

 

Чем больше коэффициент вариации, тем относительно боль­ший разброс и меньшая выравненность изучаемых объектов. Из­менчивость вариационного ряда принято считать незначительной, если вариация не превышает 10%, средней — если составляет 10—20%, значительной — если она больше 20%, но не превышает 33%. Вариация выше 33% свидетельствует о неоднородности ин­формации и о необходимости исключения нетипичных наблюде­ний, которые обычно бывают в первых и последних ранжирован­ных рядах выборки (табл. 6.4).

Таблица 6.4 Показатели статистической характеристики исходной информации

 

Номер пере­менной	Средне­арифме­тическое значе­ние	Средне-квадра-тическое отклоне­ние	Вариа­ция, %	Асим­метрия	Эксцесс	Ошибка асим­метрии	Ошибка эксцес­са
Y	27,15 п	2,85	10,50	0,20	-1,16	0,37	0,73
*1	2,77	0,28	10,08	0,36	-0,81	0,37	0,73
Ч	92,57	8,70	9,39	0,24	-0,69	0,37	0,73
Ч	8,46	0,59	7,00	0,10	-0,52	0,37	0,73
*4	17,77	2,76	15,55	0,72	-0,08	0,37	0,73
Х5	31,68	7,28	22,98	0.63	-0,13	0,37	0,73

В табл. 6.4 самая высокая вариация пох₅ (К= 22,98), но она не превышает 33%. Значит, исходная информация является однород­ной и ее можно использовать для дальнейших расчетов.

На основании самого высокого показателя вариации можно определить необходимый объем выборки данных для корреляци­онного анализа по следующей формуле:

(6.9)

 

 

V— вариация, %;

t — показатель надежности связи, который при уровне веро­ятности Р = 0,05 равен 1,96;

т — показатель точности расчетов (для экономических рас­четов допускается ошибка 5—8 %). Значит, принятый в расчет объем выборки (40 предприятий) яв­ляется достаточным для проведения корреляционного анализа.

Подчинение исходной информации закону нормального распределе­ния означает, что основная масса исследуемых данных по каждому показателю должна быть сгруппирована около ее среднего значе­ния, а объекты с очень маленькими или очень большими значени­ями должны встречаться как можно реже. График нормального распределения приведен на рис. 6.1.

Рис. 6.1. График нормального распределения информации

Для количественной оценки степени отклонения информации от нормального распределения используются отношение показа­теля асимметрии к ее ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии (А) и его ошибка (т_а) рассчитываются по следующим формулам:

(6.10)

Показатель эксцесса (Е) и его ошибка (т_е) рассчитываются сле­дующим образом:

(6.11)

 

134

135

В симметричном распределении Л = 0. Отличие от нуля указы­вает на наличие асимметрии в распределении данных около сред­ней величины. Отрицательная асимметрия свидетельствует о пре­обладании данных с большими значениями; положительная асим­метрия — о том, что чаше встречаются данные с небольшими значениями.

В нормальном распределении показатель эксцесса Е = 0. Если Е > 0, то данные густо сгруппированы около средней, образуя ос­тровершинность. Если Е< 0, то кривая распределения будет плос­ковершинной. Однако когда отношения А/т_а и Е/т_е меньше 3, то асимметрия и эксцесс не имеют существенного значения и иссле­дуемая информация соответствует закону нормального распреде­ления.

В табл. 6.4 во всех случаях отношения Л/т_а и Е/т_е не превыша­ют 3, значит, исходная информация подчиняется этому закону.

Моделирование связи между факторными и результативными по­казателями предусматривает подбор соответствующего уравнения, которое наиболее точно описывает изучаемые зависимости.

Для его обоснования используются те же приемы, что и для ус­тановления наличия связи: аналитические фуппировки, линейные графики и др.

Если связь всех факторных показателей с результативным носит прямолинейный характер, то для записи этих зависимостей можно использовать линейную функцию

К = а + V, + bfr +... + Ь„х„. (6.12)

При криволинейной форме зависимости между результативным и факторными показателями может быть использована степенная функция

или логарифмическая функция

}gY_x = hb+b_l]gx_l+b₂]gx₂+... + b„\gx„. (6.14)

Приведенные модели выгодны тем, что их параметрам (Ь_{) мож­но дать экономическое объяснение (интерпретацию). В линейной модели коэффициенты b_i показывают, на сколько единиц изменя­ется результативный показатель с изменением факторного на еди­ницу в абсолютном выражении, в степенных и логарифмических — в процентах.

В случаях когда трудно обосновать форму зависимости, реше­ние задачи можно провести по разным моделям и сравнить полу-

ченные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю сред­ней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффи­циента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже.

Изучение взаимосвязей между исследуемыми факторами и уровнем рентабельности показало, что все зависимости в нашем примере имеют прямолинейный характер. Поэтому для их описа­ния использована линейная функция.

Решение задачи многофакторного корреляционного анализа прово­дится на ПЭВМ по типовым программам, которые содержатся в пакете «Статистика». Сначала формируется матрица исходных дан­ных (табл. 6.5), в первой колонке которой записывается порядко­вый номер наблюдения, во второй — значения результативного показателя (К), а в следующих — значения факторных показателей (*,-)■

Таблица 6.5 Исходные данные для корреляционного анализа

 

№п/п	V	*1	х2	Х3! Х4	*ь
	22,5	2,40	80,0	8,00	25,0	25,0
	23,8	2,70	88,0	7,30	23,0	22,5
з П	24,7	2,50	87,0	7,90	22,0	26,0
	32,4		94,4	9,90	18,00	36,5

Эти сведения вводятся в ПЭВМ, и на их основании рассчиты­ваются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помо­щью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнение связи: критерий Стьюдента (t), критерий Фишера (Е), средняя ошибка аппроксимации (е), множественные коэффици­енты корреляции (R) и детерминации (D).

Изучая матрицы парных и частных коэффициентов корреля­ции, можно сделать вывод о тесноте связи между изучаемыми яв­лениями. Коэффициенты парной корреляции характеризуют тес­ноту связи между двумя показателями в общем виде с учетом вза­имодействия с остальными факторами, определяющими уровень результативного показателя.

Данные табл. 6.6 (первый столбец) свидетельствуют о том, что все факторы оказывают ощутимое воздействие на уровень рента­бельности. Особенно тесно рентабельность связана с материало-

 

136

137

Таблица 6.6 Матрица парных коэффициентов корреляции

 

Показатель	У	*i	*2	хз	*4	Х5
У
*1	0,75
хг	0,73	0,34
х3	0,74	0,29	0,40
ХА	-0,51	-0,33	-0,46	0,45
ч	0,72	0,40	0,22	0,36	0,37

отдачей, фондоотдачей, качеством продукции и производитель­ностью труда. С увеличением данных показателей уровень рента­бельности повышается (прямая связь); при увеличении продолжительности оборота средств рентабельность снижается (обратная связь).

Однако необходимо отметить, что парные коэффициенты кор­реляции получены при условии воздействия других факторов на результат. Чтобы абстрагироваться от их влияния и получить ко­личественную характеристику связи между результативным и фак­торными показателями в чистом виде, рассчитываются частные коэффициенты корреляции (табл. 6.7).

Таблица 6.7 Матрица частных коэффициентов корреляции

 

Показатель	У	*1	хг	*з	*4	*5
Y
*i	0,59
х2	0,48	-0,136
*э	0,39	0,019	0,003
Ч	-0,36	0,090	-0,14	-0,14
Ч	0,31	0,098	0,16	0,48	0,082

При сравнении частных коэффициентов корреляции с парны­ми видно, что влияние других факторов на тесноту связи между уровнем рентабельности и исследуемыми факторами довольно значимое: частные коэффициенты корреляции намного ниже парных. Это свидетельствует о том, что факторы, которые входят в данную корреляционную модель, оказывают на рентабельность не только непосредственное, но и косвенное влияние. Поэтому

138

взаимосвязи, очищенные от влияния сопутствующих факторов, получились менее тесными. В некоторых случаях они могут ока­заться более тесными, если исключить влияние факторов, кото­рые действуют в противоположном направлении.

По этой причине может измениться не только величина коэф­фициента корреляции, но и направление связи: в общем виде связь может быть прямой, а в чистом виде — обратной, и наоборот. Объ­ясняется это тем, что при расчете парных коэффициентов корре­ляции изучается взаимосвязь между результативным и факторным показателем с учетом их взаимодействия и с другими факторами. Например, с повышением уровня оплаты труда рентабельность увеличивается, если темпы роста производительности труда обго­няют темпы роста его оплаты. Поэтому в обшем виде взаимосвязь между уровнем рентабельности и уровнем оплаты труда будет пря­мой. Если же взять непосредственную связь между этими показа­телями при условии неизменности производительности труда и других факторов, то при повышении оплаты труда рентабельность будет снижаться, т.е. частный коэффициент корреляции будет со

знаком минус.

Таким образом, с помощью парных и частных коэффициентов корреляции можно получить представление о степени связи меж­ду изучаемыми явлениями в общих- и непосредственных соприко­сновениях.

Значительный интерес представляют коэффициенты корреля­ции, характеризующие взаимосвязь факторов. Как уже отмечалось, в корреляционную модель надо подбирать независимые между со­бой факторы. Если коэффициент корреляции между двумя фак­торными показателями выше 0,85, то один из них необходимо ис­ключить из модели. Исследование матрицы коэффициентов кор­реляции позволяет сделать вывод, что в данную модель включены факторы, не очень тесно связанные между собой.

При изучении тесноты связи надо иметь в виду, что величина коэффициентов корреляции является случайной, зависящей от объема выборки. Известно, что с уменьшением количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции падает, и наоборот, при увеличении количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции возрастает.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по крите­рию Стьюдента

/ = — = -^- = 5,72, (6.15)

<у_г 0,103 ^V '

139

где о_г — среднеквадратическая ошибка коэффициента корреля­ции, которая определяется по формуле

 

 

(6.16)

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции яв­ляется значимой. Табличные значения t находят по таблице зна­чений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы (V= n - 1) и уровень доверительной вероятно­сти (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы равняется п - 1 = 40 - 1 = 39. При уровне доверительной вероятности Р = 0,05 t — 2,02. По­скольку / фактическое во всех случаях выше t табличного, связь между результативным и факторными показателями является на­дежной, а величина коэффициентов корреляции — значимой (табл. 6.8).

Таблица 6.8

Фактические значения критерия Стьюдента

 

Номер переменной	*1	х2	*3	*4	*5
t фактическое | 5,72 | 3,9 | 2,9 | 2,6 [ 2,16

Следующий этап корреляционного анализа — расчет уравнения связи (регрессии), который проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. На каждом шаге рассчитываются уравнение связи, множественный коэффициент корреляции (К) и детерми­нации (/)), /"-отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка (е) и другие показатели, с помощью которых оценивается надеж­ность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина коэффициентов множествен­ной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи опи­сывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показа­телями. Если добавление следующих факторов не улучшает оце­ночных показателей связи, то надо их отбросить, т.е. остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны.

Сравнивая результаты на каждом шаге (табл. 6.9), можно сде­лать вывод, что наиболее полно описывает зависимости между

\-щ Таблица 6.9

% - Результаты расчета уравнения связи

 

№ л/л	Уравнение связи	R	D	F	е
	У, = 5,81 + 7,68х,	0,59	0,35	50,3	1,895
	У,= -1,11+5112х1+0,15х?	0,75	0,56	57,6	1,548
	Ух=-6,84 + 3,93х)+0,11хг+1,53х3	0,84	0,72	71,3	1,408
	Yt= -2,44 + 3,89х, + 0,10х? + 1,37хч - 0,12х4	0,88	0,77	88,8	1,398
	^ = 0,49 + 3,65», +0,09х2+ 1,02х3-0,122х4 + + 0,052хй	0,92	0,85	95,6	1,358

изучаемыми показателями пятифакторная модель, полученная на пятом шаге. Уравнение связи на этом шаге имеет следующий вид:

Y_x = 0,49 + 3,65х, + 0,09х₂ + 1,02х₃ - 0,122х₄ + 0,052х₅,

где х_х — матери ал оотдача, руб.; х₂ — фондоотдача, коп.;

х₃ — производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), тыс. руб.; г х₄ — продолжительность оборота оборотных средств предпри -г ятия, дни;

| х₅ — удельный вес продукции высшей категории качества, ' %.

Коэффициенты уравнения показывают количественное воздей­ствие каждого фактора на результативный показатель при неиз­менности других. В данном случае можно дать следующую интерпретацию полученному уравнению: рентабельность повыша­ется на 3,65% при увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09% — с ростом фондоотдачи на 1 коп.; на 1,02% — с повышени­ем среднегодовой выработки продукции одним работником на 1 тыс. руб.; на 0,052% — при повышении удельного веса продукции высшей категории качества на 1 %. С увеличением продолжитель­ности оборота средств на 1 день рентабельность снижается в сред­нем на 0,122%.

Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возни­кает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на резуль­тативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквад-ратического отклонения — другими словами, рассчитывают стан-

 

140

141

дартизованные коэффициенты регрессии. Их еще называют бета-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения (β).

Бета-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны сле­дующим отношением:

(6.17)

Бета-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответ­ствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бета-коэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени воздействия каждого фактора на величину результативно­го показателя. В нашем примере наибольшее влияние на уровень рентабельности оказывают материалоотдача, фондоотдача и про­изводительность труда (табл. 6.10).

Таблица 6.10 Коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты

 

Номер переменной	*i	х2	*з	*4	*5
Коэффициент эластичности	0,374	0,308	0,318	-0,080	0,061
Бета - коэффициент	0,359	0,275	0,213	-0,118	0,133

По аналогии можно сопоставить и коэффициенты эластичнос­ти, которые рассчитываются по следующей формуле:

(6.18)

 

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Согласно данным табл. 6.10 рентабельность возрастает на 0,374% при увеличении уровня материалоотдачи на 1%, на 0,308 — при повышении фондоотдачи на 1 % и т.д.