Решение.
Подставим в уравнение найденные значения производных:
что и требовалось доказать.
Производная сложной функции а) Если
б) Если
в) Если
Задача 9. Дана функция ты. Найти
Решение.
Задача 10. Дана функция
Решение. Очевидно, что u – сложная функция одной независимой перемен- ной t, а x, y и z – промежуточные аргументы, т. е. существует
Задача 11. Найти
Решение.
Сравните:
Производная функции, заданной неявно а) Если
б) Если
Задача 12. Дано:
Решение. Данное уравнение задает неявно функцию z, зависящую от переменных х и у. Запишем данное уравнение в виде
Очевидно:
Приложения производных функции
Полный дифференциал функции двух переменных
|
.
,
, где 
, то 
- сложная функция двух переменных х и у, тогда
; 
.
, то 
- сложная функция одной переменной х, тогда
- полная производная сложной функции одной независимой переменной х.
, где 
- сложная функция одной переменной х и
.
, где 
т. е. 
– сложная функция двух переменных х и у, где u и v - промежуточные аргумен-
.
;
.
. Найти 
.
.
, если 
, где 
.
, если 
, т.к. 
.
, то у – функция одной переменной х, заданная неявно.
.
, то z – функция двух независимых переменных, заданная неявно.
; 
.
. Доказать, что 
.
. Очевидно, что
.
;
.
, что и требовалось доказать.
