Геометрические приложения частных производных

а) Уравнения касательной в точке к пространственной кривой

 

: , где – направляющий

вектор касательной, – точка касания.

 

б) Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

 

.

 

.

n

 

z

	(рис. 8)

α

P₀

 

 

0 у

 

x Рис. 8

Задача 23. Составить уравнение касательной прямой к пространственной линии .

 

Решение. Уравнение касательной к пространственной кривой в общем виде таково: . Найдем координаты точки касания:

, затем координаты направляющего вектора

 

.

 

Итак, – касательная к пространственной кривой в данной точке.

 

Задача 24. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболический параболоид) в точке .

 

Решение. Вначале запишем уравнение данной поверхности в виде , т. е. . Тогда уравнение касательной плоскости в общем виде запишется так: ,

 

где , , ,

 

т. е. нормаль к касательной плоскости – точка касания, значит, , т. е. – касательная плоскость к данной поверхности в точке .

Уравнения нормали к этой же поверхности в точке в общем виде запишутся так: – направляющий вектор нормали, за него можно принять нормаль к касательной плоскости , т. е. . Итак, – это канонические уравнения нормали к данной поверхности в точке .

Задача 25. Показать, что конус и сфера касаются друг друга в точке .

 

Решение. Чтобы решить задачу, достаточно показать, что в точке данные конус и сфера имеют общую касательную плоскость:

.

 

Сначала найдем касательную плоскость к конусу в точке : уравнение конуса запишем в виде , т. е. в виде , откуда

 

, , .

 

Значит, – касательная плоскость к конусу в точке .

Также найдем касательную плоскость к сфере в точке .

, , .

 

Касательная плоскость к сфере в точке задается уравнением

, что и требовалось доказать.

 

Задача 26. На поверхности найти точки, в которых касательная плоскость параллельна координатной плоскости XOZ.

 

Решение. Так как касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости XOZ, то она перпендикулярна оси OY и ее нормаль имеет координаты . С другой стороны известно, что нормаль касательной плоскости к поверхности имеет координаты:

 

.

 

Чтобы найти , сравним А, В и С вектора : , , , т. е. – координаты точки касания. Осталось

найти В. Так как точка касания принадлежит поверхности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой поверхности:

, откуда значит . Значит, точек касания две: и .