В замкнутой области D

Правило. Чтобы найти М – наибольшее и m – наименьшее значения функции в замкнутой области D, находят критические точки этой функции. Если эти точки принадлежат области D, то в них следует вычислить значения . Затем, используя уравнения границы L области D, нужно найти критические точки , принадлежащие L, вычислить в них значения . Вычислить значения на концах L. Осталось из всех найденных значений данной функции выбрать самое большое М и самое малое m.

 

Задача 17. Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции в прямоугольнике .

 

Решение. Найдем критические точки функции z, которые принадлежат заданной области (рис. 4).

 

У

 

B(0, 2) C(2, 2)

Решим систему уравнений подставим во второе уравнение: , т. е.

y=2

1

x=2

1 2 x

у=-1

A(0, -1) D(2, -1)

 

 

Рис. 4

 

Таким образом, решений у системы два: . Первому решению соответствует точка , которая принадлежит границе области. Второму решению соответствует критическая точка , которая принадлежит области, поэтому вычислим значения функции в ней: .

Исследуем функцию z на границе области (прямоугольник ABCD), которая состоит из четырех звеньев:

1. АВ: . Получаем критическую точку , вычислим функцию в этой точке: .

 

2. ВС: . Найдем произ-водную этой функции: , корень уравнения , поэтому критическая точка . Вычислим значение функции в ней: .

.

 

3. СD: . Найдем , а . Поэтому критическая точка . Вычислим в ней значение функции:

. .

 

4. AD: . Найдем производную этой функции: , действительных корней не имеет.

5. Осталось вычислить значения функции на концах каждого из отрезков, являющихся сторонами прямоугольника: АВ, BC, CD, AD, т. Е. в вершинах прямоугольника .

 

,

 

,

 

, ,

 

, .

 

Сравнив все подчеркнутые значения функции z (только они представляют интерес), делаем вывод: наибольшее значение z достигает в вершине прямоугольника D, т. Е. , а наименьшее – в двух точках: во внутренней точке области и в вершине .

 

Задача 18. В шар, диаметр которого равен 2R, вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема (рис. 5).

	Решение.Обозначим x, y, z – стороны параллелепипеда, тогда . Из рис. 5 видно: , , т. е. , значит, , где , .

 

 

2R

z a y

x

 

 

Рис. 5

;

 

,

или

 

Из условия задачи ,

 

или ,

 

откуда , т. е. прямоугольный параллелепипед, вписанный в данный шар, будет иметь наибольший объем, если он будет кубом, ребра которого равны .