И его приложение в приближенных вычислениях

Если , то – полный дифференциал

. Так как полное приращение функции , то

 

.

 

 

Задача 13. Найти полный дифференциал функции .

 

Решение. Воспользуемся формулой или, что то же самое, .

 

 

.

 

Задача 14. Высота конуса Н=60 см, радиус основания R=20 см. Как изменится объем конуса, если высоту увеличить на 3 мм, а радиус основания уменьшить

на 1 мм?

 

Решение. Изменение объема конуса, т. е. приращение , можно заменить его полным дифференциалом : , .

Дано: R = 20 см, = -0,1 см, Н = 60 см, = 0,3 см.

 

 

.

 

Ответ: Объем конуса уменьшится приблизительно на 120 .

 

Задача 15. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала .

Решение. Воспользуемся функцией и формулой

 

.

 

Положив , найдем

 

.

 

Вычислим в условиях задачи:

 

.

Итак,

 

.

 

 

Экстремумы функции

(максимум и минимум )

 

а) Необходимые условия: если в точке функция имеет экстремум, то в этой точке. – критическая (стационарная) точка.

 

б) Достаточные условия: если – критическая точка и

 

в этой точке, то – точка экстремума. Причем, если , то – точка максимума, если , то – точка минимума. Чтобы найти экстремум, надо вычислить .

 

Задача 16. Найти минимум и максимум функции .

 

Решение. Найдем стационарные точки, в которых (необходимые условия экстремума):

.

Решим систему уравнений

 

+ .

 

Найдены три стационарные точки: . Исследуем их на экстремум с помощью достаточных условий:

 

;

, , ;

 

.

 

1) ,

 

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум

 

.

 

2) – неизвестно, есть ли экстремум.

 

3) ,

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум, .

 

Ответ: Данная функция имеет минимум в двух симметричных точках и , скорее всего в точке у нее максимум .

 

Наибольшее и наименьшее значения функции