Метод Гаусса-Зейделя

Цей метод відрізняється від методу простої ітерації тільки тим, що для обчислення використовуються вже знайдені на цій (а не на попередній) ітерації нові значення .

Для СЛАР 3-го порядку:

(3.27)

 

Для ої ітерації

 

(3.28)

У загальному випадку для СЛАР го порядку

. (3.29)

 

Якщо для кожного існує скінчена границя послідовності при , то такий ітераційний процес називається збіжним, а розв’язки системи рівнянь:

.

При цьому максимуми різниці між значеннями змінних на двох послідовних ітераціях прямують до нуля, тобто .

Збіжність ітераційного процесу. Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб модуль діагонального коефіцієнта для кожного рівняння системи був не менше суми модулів всієї решти коефіцієнтів цього рівняння (тобто в рядку):

 

(3.30)

При цьому хоча б для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких СЛАР ітераційний процес сходиться і при порушенні умов (3.30).

Розглянемо простий приклад.

звідки

Якщо в такій же послідовності знаходитимемо невідомі, то графічно це виглядатиме так

Мал.. 3.1 – Збіжність ітераційного процесу

 

Процес сходиться до значення .

Тут умови збіжності виконуються, оскільки і .

Подивимося, що вийде, якщо поміняємо місцями ці рівняння

звідки

Мал. 3.2 – Розбіжний ітераційний процес

 

Процес розходиться (див. мал. 3.2).

3.10. Порівняння прямих та ітераційних методів

1. Прямими методами теоретично можна розв’язати будь-яку невироджену СЛАР, а ітераційні методи сходяться не для всіх систем рівнянь, тобто прямі методи мають велику область розв’язків.

2. Обсяг обчислень прямих методів приблизно операцій, а Гаусса-Зейделя – приблизно (кількість ітерацій), тому загальні витрати машинного часу у методі Гаусса-Зейделя будуть менші.

3. Помилки округлення в ітераційних методах менші. Це має вирішальне значення при розв’язуванні великих СЛАР.

 

 

4. Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

Багато задач дослідження різних об'єктів за допомогою моделей приводять до необхідності розв’язування нелінійних рівнянь. Особливо часто такі задачі виникають при дослідженні пристроїв електронної, радіоелектронної і обчислювальної техніки.

 

4.1. Концепція методів

Методи розв’язування нелінійних рівнянь виду поділяються на прямі і ітераційні.

Прямі методи дозволяють записати розв’язки (корені рівнянь) у вигляді деякого скінченого співвідношення (формули). За допомогою цих методів можна розв’язати тільки деякі найпростіші рівняння (наприклад, квадратні рівняння).

Проте на практиці мають справу з рівняннями більш високого порядку і тому для їх розв’язування використовують ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень. Кожний крок уточнення розв’язку називається ітерацією.

Як правило, процес розв’язування нелінійного рівняння виду здійснюється у два етапи:

1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня.

2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю .

 

 

4.2. Відділення коренів

Якщо рівняння досить складне, то його корені порівняно рідко вдається знайти точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, відомі лише приблизно, і, отже, сама задача про точне визначення коренів рівняння втрачає значення. Тому важливе значення мають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.

Нехай дано рівняння

(1)

де функція визначена і неперервна в деякому скінченому або нескінченному інтервалі .

Надалі в деяких випадках нам знадобиться існування і безперервність першої похідної або навіть другої похідної , що буде обумовлено у відповідних місцях.

Всяке значення , що обертає функцію в нуль, тобто таке, що

,

називається коренем рівняння (1) або нулем функції .

Ми припускатимемо, що рівняння (1) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня рівняння (1) існує окіл, що не містить інших коренів цього рівняння.

Для відділення коренів корисною буде відома теорема з математичного аналізу.

Теорема 1. Якщо неперервна функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка , тобто , то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння, тобто знайдеться хоча б одне число таке, що (мал. 1).