Метод касательных (метод Ньютона)

 

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на i-ой итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y=F(x) при х=с_i, и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a, b], содержащей корень уравнения F(x)=0, а достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня х=с₀ (см. рис.4.3).

Рисунок 4.3 – Иллюстрация метода касательных

 

Уравнение касательной к кривой y=F(x) в точке M₀ с координатами с₀ и F(с₀):

y – F(с₀) = F¢(с₀)(x - с₀)

откуда при у=0:

х₁ = с₁ = с₀ –F(с₀) / F¢(с₀); F¢(с₀) ≠ 0

Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие |F(с_j)| < ε;, или условие |с_j+1 - с_j| < ε;.

Это геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Рассмотрим вывод метода Ньютона.

F(x)=0; х = х_j - начальное приближение к решению.

Разложим функцию F(x) в окрестности т. х_j в ряд Тейлора. Тогда:

Если взять следующее значение х_j+1 в окрестности точки х_j, то

Если х_j+1 близка к х_j, то (х_j+1 - х_j) мало, а (х_j+1 - х_j)² << (х_j+1 - х_j) и членами второго и более высокого порядка можно пренебречь. Нашей задачей является нахождение такого х_j+1, при котором F (х_j+1) =0, т.е.

,

откуда

- это и есть формула метода Ньютона, где F^’(x_j) - касательная к кривой в точке x_j, что соответствует ранее приведенному выражению для метода Ньютона.

Из вывода метода Ньютона следует, что решение ищется в окрестности начального приближения. Если оно удачно, т.е. начальное приближение близко к решению, то метод сходится и очень быстро.