Мал. 1.

Рівняння хорди АВ:

.

Звідси, поклавши та , отримаємо:

. (1)

Далі, застосовуючи цей прийом до відрізка , отримаємо друге наближення кореня:

.

Продовжуючи процес далі, отримаємо формулу методу хорд:

(2)

Умова забезпечувала нам розташування точного значення кореня всередині відрізка на кожному етапі процесу обчислення (на кожній ітерації). Це випливає з аналізу мал. 1.

Мал. 2

Якщо і (мал. 2), то потрібно користуватися такою формулою методу хорд (при цьому, як і раніше, вважаємо, що ):

(3)

Якщо , то можна розглядувати рівняння .

Узагальнюємо отримані результати:

1) нерухомим є той кінець відрізка , для якого знак функції співпадає зі знаком її другої похідної , тобто ; за приймаємо інший (протилежний до нерухомого) кінець відрізка;

2) послідовні наближення лежать по той бік від кореня , де функція має знак, протилежний знаку її другої похідної . У обох випадках кожне наступне наближення ближче до кореня , ніж попереднє .

Для оцінки точності наближення можна скористатися формулою (5) §1:

,

де при ;

а також формулою:

.

 

Приклад. Знайти додатний корінь рівняння

з точністю до .

Розв’язок. Перш за все відділимо корінь. Так як

, , то .

Перша похідна:

.

Друга похідна

при .

Отже: нерухомий кінець , .

Послідовно застосовуючи формулу (2), матимемо:

		-0,6
	1,15	-0,173
	1,190	-0,036
	1,198	-0,0072

 

Так як при маємо

,

то можна оцінити похибку точніше:

.

Зауважимо, що точний корінь рівняння є .