Мал. 2.

 

Процес відділення коренів починається з встановлення знаків функції у граничних точках и області її існування.

Потім встановлюються знаки функції у ряді проміжних точок , вибір яких враховує особливості функ­ції . Якщо виявиться, що для деякого матиме місце нерівність , то в силу тео­реми 1 на інтервалі матимемо корінь рівняння . Потім потрібно впевнитися, чи є цей корінь єдиний. Для відділення коренів практично часто буває достатньо здійснити процес половинного поділу, наближено ділячи даний інтервал на дві, чотири, вісім і т. д. рівних частин (до деякого кроку) та визначаючи знаки функції в точках поділу. Корисно пам’ятати, що алгебраїчне рівняння -го степеня

має не більше дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми отримали змін знаків, то всі корені його відділені.

Приклад 1. Відділити корені рівняння

. (2)

Рішення. Складаємо приблизну схему:

-	-
-3	-
-1	+
	+
	-
	+
+	+

 

Отже, рівняння (2) має три дійсні корені, що лежать в інтервалах .

Якщо існує неперервна похідна і корені рівняння легко обчислюються, то процес відділення коренів рівняння (1) можна упорядкувати. Для цього, очевидно, достатньо підрахувати лише знаки функції в точках нулів її похідної і в граничних точках і .

Приклад 2. Відділити корені рівняння

. (3)

Розв’язок. Тут , тому при .

Маємо

.

Отже, рівняння (3) має тільки два дійсні корені, з яких один лежить в інтервалі , а інший — в інтервалі .

Приклад 3. Визначити число дійсних коренів рівняння

. (4)

Розв’язок. Оскільки і , те рівняння (4) має тільки один дійсний корінь.

Дамо тепер оцінку похибки наближеного кореня.

Теорема 2 (без доведення). Нехай — точний, а — наближений корені рівняння , що знаходяться на одному і тому ж відрізку , причому при .

У такому разі справедлива оцінка

. (5)

Зауваження. Формула (5) може дати грубі результати, і її не завжди зручно застосовувати. Тому на практиці тим або іншим способом звужують загальний інтервал , що містить корінь і його наближене значення , і вважають .

Приклад 4. Наближеним коренем рівняння є . Оцінити абсолютну похибку цього кореня.

Розв’язок. Маємо .

Оскільки при одержуємо

,

то точний корінь міститься в інтервалі . Похідна монотонно зростає. Тому її якнайменшим значенням в даному інтервалі є:

.

Звідси по формулі (5) отримаємо:

.

 

 

§2. Метод половинного поділу (метод дихотомії)

Нехай дано рівняння

, (1)

де функція неперервна на і .

Для пошуку кореня рівняння (1), що належить відрізку ділимо цей відрізок навпіл (на дві рівні частини). Якщо , то є коренем рівняння. Якщо , то вибираємо ту з половин чи , на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і вибираємо ту з половин чи , на кінцях якої функція має протилежні знаки, і так далі. У результаті отримаємо на деякому етапі точний корінь рівняння (1), або ж нескінчену послідовність вкладених один в одного відрізків таких, що

(2)

і

(3).

Для кожного фіксованого можна стверджувати, що корінь рівняння (1) знаходиться на відрізку . Наближеним значенням кореня можна вважати середину цього відрізка:

Похибка у цьому випадку:

.

Приймаючи значення досить великим (виконуючи досить велике число половинних поділів відрізка), можна досягнути високої точності обчислень.

Якщо корені рівняння (1) не відділені на відрізку , то та­ким способом можна знайти хоча б один з коренів рівняння (1), але немає гарантії, що ми знайдемо всі корені.

Метод дихотомії практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, оскільки при збільшенні точності значно зростає об'єм обчислювальної роботи.

Зауважимо, що метод половинного поділу легко реалізується на комп'ютерах. Програма обчислення складається так, щоб машина знаходила значення лівої частини рівняння (1) в середині кожного з відрізків і вибирала відповідну половину його.

Приклад. Методом половинного поділу уточнити корінь рівняння , що лежить на відрізку .

Розв’язок. Послідовно маємо:

			-1			0,5
	0,5		-1,19			0,25
	0,75		-0,59			0,125
	0,75	0,875	-0,59	0,05		0,0625
	0,8125	0,875	-0,304	0,05		0,03125

 

Приймаємо:

Виконаємо це завдання у програмі Excel.

§ 3. Метод хорд (спосіб пропорційних частин)

Розглянемо (в передумовах § 2) більш швидкий спосіб знаходження кореня рівняння , що лежить на заданому відрізку , такому, що .

Нехай для визначеності і . Покладемо також, що . Тоді, замість того, щоб ділити відрізок навпіл, більш логічно розділити його у відношенні .

Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої хордою, що проходить через точки та (мал. 1).