Знаходження об’єму тетраедра по координатам його вершин.

Об’єм тетраедра : .

 

2.4. Умова компланарності чотирьох точок.

Точки називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині.

Для того щоб точки , , та лежали в одній площині, необхідно і достатньо, щоб їх координати задовольняли співвідношенню:

 

 

 

Питання для самоперевірки.

Що називається векторним добутком векторів? Сформулюйте основні властивості векторного добутку.

Запишіть формулу обчислення векторного добутку, якщо вектори задано в координатній формі.

Як знайти площу трикутника, знаючи координати його вершин?

Знайти векторні добутки, якщо , , – взаємно перпендикулярні орти, що утворюють праву трійку:

, , , , , , , , .

Що називається мішаним добутком векторів? Сформулюйте його основні властивості.

Як знайти мішаний добуток, знаючи координати векторів співмножників?

У якому випадку мішаний добуток є додатнім числом, а в якому – від’ємним.

Наведіть формулу для знаходження об’єму тетраедра за координатами його вершин.

Яка умова компланарності чотирьох точок?

Як виражається умова компланарності трьох векторів через їх мішаний добуток?

 

Розділ 2.

Аудиторні практичні заняття.

Підмодуль 1. Векторний добуток векторів.

Питання для перевірки теоретичних знань.

1. Виправте рівність .

2. Векторний добуток векторів та , якщо вектори задані своїми координатами, обчислюється...

3. Як може бути використаний векторний добуток векторів та для обчислення:

площі паралелограма, побудованого на даних векторах, як на сторонах;

площі трикутника, дві сторони якого збігаються з даними векторами та .

Завдання для аудиторної роботи (з розв’язками).

1.Знайти модуль векторного добутку , якщо , , а кут .

Розв’язання. .

Відповідь:

 

2.Обчислити площу паралелограма три вершини якого знаходяться у точках , , .

Розв’язання. Нехай та , тоді та . Площа паралелограма рівна модулю векторного добутку векторів та : .

Відповідь: .

 

 

3.Обчислити синус кута утвореного векторами та , де , .

Розв’язання. , отже .

.

; .

.

Відповідь: .

 

4.Дано трикутник з вершинами , , . Знайти довжину висоти, опущеної з вершини на сторону .

 

Розв’язання. Щоб розв’язати задачу, достатньо знайти площу трикутника та довжину сторони . Площа трикутника рівна половині площі паралелограма, що побудований на векторах та . Знайдемо координати цих векторів та координати їх векторного добутку: , ,

. Оскільки , то знаходимо площу паралелограма: . Так як та , , то , звідки .

Відповідь: лін. од.

 

5.У прямокутній декартовій системі координат задані дві точки і . Знайти на осі таку точку , щоб площа трикутника була рівна кв. од.