Примеры решения задач. Пример.Определить энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины двухпроводной линии, по которой протекает ток J

Пример. Определить энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины двухпроводной линии, по которой протекает ток J. Радиус первого проводника а, второго - b, расстояние между осями проводников d >> a, b, магнитная проницаемость материала проводников m. Найти индуктивность единицы длины линии.

Индуктивность единицы длины линии может быть определена в соответствии с выражением (2.30) вычислением потока, пронизывающего плоскость контура единичной

длины, ограниченного осями токов (см. рис.2.7). При этом энергия, приходящаяся на единицу длины линии (разумеется, L – индуктивность единицы длины линии). Возможен и другой способ расчета требуемых величин – непосредственное вычисление энергии единицы длины линии с последующим определением индуктивности.

Первый способ.

Из рис. 2.7 видно, что полный поток Ф = Ф₁ + Ф₂ + Ф₀, где Ф₁ и Ф₂ – потоки, пронизывающие сечения первого и второго проводников соответственно и Ф₀ – поток, пронизывающий область между проводнимками.

Используя результаты, полученные в примерах 2 п. 2.1.1 и 1 п. 2.2.1, индукцию магнитного поля в выделенных областях можно представить в виде:

, , .

Подчеркнем, что в выражениях для В ₁ и В ₂ r ₁ и r ₂ отсчитываются от осей соответствующих токов (для значения В ₀ отсчет r не имеет значения).

Т.к. векторы и перпендикулярны плоскости, в которой лежат оси токов J ₁ и J ₂, то потоки, пронизывающие поверхность рассматриваемого контура единичной длины,

, ,

.

Учитывая, что d >> a и b, получаем и . Тогда

.

Следовательно, и .

Второй способ.

Вычислим энергию магнитного поля единицы длины линии с помощью формулы (2.28), в которой , т.е. выражение для энергии единицы длины линии принимает вид:

,

где , А ₁ – векторный потенциал, создаваемый токами J и – J в области первого проводника, а А ₂ – в области второго проводника. Здесь

А ₁ = А ₁₁ + А ₂₁ и А ₂ = А ₂₂ + А ₁₂,

причем А ₁₁ и А ₂₂ - векторные потенциалы, создаваемые токами J и - J в области первого и второго проводников соответственно, А ₂₁ – векторный потенциал, создаваемый током - J в области первого проводника, а А ₁₂ – векторный потенциал, создаваемый током J в области второго проводника.

Для указанных векторных потенциалов воспользуемся результатами, полученными в примере п. 2.2.1:

при r ₁ £ a и при r ₁ ³ a;

при r ₂ £ b и при r ₂ ³ b.

Здесь r ₁ и r ₂ отсчитываются от осей соответствующих токов, наличие постоянной С в выражениях для А ₂₂ связано с тем, что потенциал отсчитывается от оси первого проводника. Тогда, полагая A ₂₂ = 0 при r ₂ = d, получаем и

при r ₂ £ b, при r ₂ ³ b.

Учитывая, что a, b << d и поэтому пренебрегая изменением векторных потенциалов А ₁₁ при r ₁ > a и А ₂₂ при r ₂ > b в областях, занятых токами ^_ J и J соответственно, получаем:

и .

Таким образом

и .

Тогда энергия, приходящаяся на единицу длины линии, будет определяться как

Выполняя интегрирование, получаем

и .