Примеры решения задач. Пример.Диэлектрический слой с проницаемостью e2, ограниченный плоскостями z = 0 и z = a, разделяет диэлектрические среды с e1 и e3(m1 = m2 = m3 = 1)

Пример. Диэлектрический слой с проницаемостью e₂, ограниченный плоскостями z = 0 и z = a, разделяет диэлектрические среды с e ₁ и e ₃(m ₁ = m ₂ = m ₃ = 1). На слой из области z < 0 нормально падает плоская монохроматическая линейно поляризованная электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении между e ₁, e ₂ и e ₃ при этом отражения не будет?

Пусть вектор падающей волны лежит в плоскости падения, т.е. ; при этом магнитная составляющая падающей волны - см. рис.4.2, а связь между ними выражается соотношением

.

При этом электрическая и магнитная составляющие падающей электромагнитной волы могут быть представлены в виде:

и .

На границе z = 0 волна частично отражается в первую среду и частично проходит во вторую. Составляющие отраженной волны могут быть представлены в виде:

и ,

причем, т.к. k ₁ ® - k ₁, то в соответствии с (4.9) . Полное волновое поле в первой среде представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн, т.е.

и

Прошедшая волна на границе z = a также частично отражается и частично проходит в третью среду. Повторяя рассуждения, для второй среды получаем

, ,

, ,

и .

В третьей среде имеется только прошедшая волна с составляющими

и .

В записанных выражениях для электромагнитных полей

.

Поставленная задача сводится к нахождению коэффициента отражения , т.е. к нахождению отношения амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей волны в первой среде. Т.к. амплитуды магнитных составляющих в

плоской эдектромагнитной волне связаны с амплитудами электрических составляющих, то неизвестными являются лишь четыре амплитуды - , которые могут

 

быть выражены через амплитуду падающей волны с помощью граничных условий.

Условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей на границах z = 0 и z = a приводят к системе уравнений

1) , 2) ,

3) , 4) .

Из уравнений 1) и 2) получаем

, где - амплитудный коэффициент отражения, и

.

Из уравнений 3) и 4) . Подстановка этого отношения в выражение для R позволяет записать его в виде

,

где

.

Тогда искомый коэффициент отражения .

Исследование полученного выражения на экстремум (дифференцирование по а) показывает, что минимуму коэффициента отражения соответствует условие .

Т.к. k ₂ ¹ 0, то это условие выполняется при , т.е при , где l - длина волны. Подстановка в выражение для коэффициента отражения r приводит к окончательному результату .

Таким образом, при толщине слоя, равной или кратной четверти длины волны, коэффициент отражения обращается в ноль при . Полученные результаты остаются справедливыми и при любой другой поляризации электромагнитной волны при условии нормального падения, в чем нетрудно убедиться непосредственными расчетами, аналогичными проведенным.