Примеры решения задач. Пример 1.Определить время, за которое электрон атома водорода в модели Резерфорда упадет на ядро вследствие потери энергии на излучение

Пример 1. Определить время, за которое электрон атома водорода в модели Резерфорда упадет на ядро вследствие потери энергии на излучение. Первоначальный радиус орбиты электрона принять равным Боровскому радиусу а.

Электрон в атоме движется под действием кулоновской силы, обеспечивающей центростремительное ускорение:

,

где е – величина заряда электрона, - его радиус-вектор относительно ядра (рис. 4.3).

Т.к. масса ядра много больше массы электрона, то центр масс атома совпадает с центром ядра. Поэтому в системе центра масс дипольный момент атома совпадает с дипольным моментом электрона и равен .

Индукция магнитного поля дипольного излучения электрона , где r ¢ - расстояние от ядра до точки наблюдения, а плотность потока энергии излучения

.

Энергия излучения, протекающая в единицу времени через площадку на сферической поверхности r ¢ = const,

.

В последнем выражении , т.к. из закона сохранения энергии следует, что поток энергии в единицу времени через любую поверхность r ¢ = const остается постоянным и не зависит от времени задержки t. Выполняя интегрирование по полному телесному углу, получаем

.

 

Для электрона в атоме

и .

Следовательно, энергия, излучаемая электроном атома в единицу времени, равна:

.

Для определения времени жизни атома найдем полную энергию электрона, находящегося на круговой орбите радиуса r. Учтем, что и . Поэтому кинетическая энергия электрона в атоме . С другой стороны, потенциальная энергия электрона . Следовательно, полная энергия и является функцией расстояния электрона от ядра r. Тогда полученное выражение для энергии, теряемой на излучение в единицу времени, можно преобразовать к виду:

.

Разделяя переменные, получаем

.

При выполнении интегрирования учтем, что в начальный момент времени энергия электрона , а падению электрона на ядро соответствует энергия W¢ ® - ¥. Тогда

.

Выполняя интегрирование, получаем

.

 

Пример 2. Определить среднюю мощность излучения рамки с током . Площадь рамки S. Какой длины должно быть плечо l электрического диполя зарядом q , чтобы его мощность излучения равнялась мощности излучения рамки?

Т.к. электрический дипольный момент рамки с током равен 0, то поле излучения определяется ее магнитным моментом :

.

Здесь - вектор нормали к рамке с током, а - единичный вектор в направлении на точку наблюдения поля (см. рис. 4.4).

Плотность потока энергии

.

Тогда энергия, протекающая в единицу времени через площадку , будет равной

 

.

Интегрирование по телесному углу приводит к

.

Так же, как и в предыдущем примере, при нахождении мощности излучения рамки в полученном выражении время задержки t можно опустить. Тогда средняя за период мощность излучения рамки с током будет равной

.

В соответствии с выражением (4.23) для электрического дипольного момента, изменяющегося по гармоническому закону, имеем . Сравнивая результаты, приходим к выводу, что электрический диполь излучает ту же мощность, что и рамка с током при длине плеча диполя . Для гармонически изменяющегося заряда q такого, что , получаем , где l - длина волны электромагнитного излучения.