Краткие теоретические сведения. В отсутствие зарядов и токов, но при наличии переменных электрических и магнитных полей уравнения Максвелла принимают вид

В отсутствие зарядов и токов, но при наличии переменных электрических и магнитных полей уравнения Максвелла принимают вид

1) , 2) ,

2) , 3) , (4.1)

а поле, описываемое этими уравнениями, называется свободным электромагнитным полем.

Система четырех дифференциальных уравнений первого порядка (4.1) может быть приведена к системе двух дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих вид волновых уравнений:

, (4.3)

. (4.4)

Следовательно, свободное электромагнитное поле может существовать лишь в форме электромагнитной волны, распространяющей в однородной и изотропной среде со скоростью

. (4.5)

В вакууме (ε; = 1, μ; = 1) скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света

(4.6)

В общем случае волна – это возбуждение, распространяющееся в среде с постоянной скоростью, определяемой свойствами этой среды. Геометрическое место точек, значение возмущения в которых одинаково, называется волновой поверхностью (поверхностью равных фаз, фронтом волны). По форме фронта вводятся две основные модели волны - плоская и сферическая: фронтом плоской волны является плоскость, а фронтом сферической – сфера. Плоская электромагнитная волна в вакууме может быть представлена в виде двух составляющих:

, (4.7)

где - единичный вектор в направлении распространения волны.

Уравнение сферической электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, имеет общий вид:

. (4.8)

В уравнениях (4.7)и (4.8) с – фазовая скорость волны, совпадающая со скоростью света.

Векторы , и в плоской волне взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов. Для электромагнитной волны в вакууме

. (4.9)

Волны, в которых электрическая и магнитная составляющие изменяются по гармоническому закону называются монохроматическими. Если при этом направления, вдоль которых происходят колебания векторов и , остаются постоянными, то такие волны называются гармоническими линейно поляризованными. Уравнение плоской монохроматической линейно поляризованной электромагнитной волны можно записать в комплексной форме, удобной для выполнения операций дифференцирования и интегрирования:

, (4.10а)

. (4.10б)

Здесь и - векторы поляризации, Е₀ и B₀ – амплитуды колебаний напряженности электрического и индукции магнитного полей, w - циклическая частота колебаний, - волновой вектор, причем ,где - длина волны. При этом следует помнить, что физический смысл имеют лишь действительные части (4.10а) и (4.10б).

В общем случае возмущения произвольной формы электромагнитная волна может быть представлена суперпозицией плоских линейно поляризованных монохроматических волн.

При распространении электромагнитной волны в непроводящей среде с диэлектрической проницаемостью e и магнитной проницаемостью mв уравнениях (4.7) – (4.10) следует заменить с на , а между величинами Е, В, D и Н существует простая связь:

. (4.11)

В плоской электромагнитной волне плотность энергии электрической и магнитной составляющих равны. Поэтому

. (4.12)

Плотность потока электромагнитной энергии (интенсивность волны) определяется следующими выражениеми:

. (4.13)

В проводящей среде электромагнитные волны затухают, что отражается введением комплексного волнового вектора k^* = k¢ + ik¢¢; в (4.10). Комплексность волнового вектора связана с комплексностью диэлектрической проницаемости, наличие мнимой части которой обусловлено электропроводностью среды:

. (4.14)

Действительная и мнимая части k * связаны с материальными константами среды и зависят от частоты:

. (4.15)

Рассмотренные решения уравнений Максвелла (4.1) представляют собой решения системы однородных волновых уравнений. При наличии переменных зарядов и токов ставится задача нахождения частных решений полной системы уравнений Максвелла

,

, (4.16)

удовлетворяющих заданному распределению зарядов и токов.

С использованием калибровки Лоренца для скалярного и векторного потенциалов

уравнения (4.16) преобразуются в неоднородные волновые уравнения относительно этих потенциалов: (4.17а)

. (4.17б)

Частными решениями этих уравнений являются запаздывающие потенциалы (для простоты записей принимаем e = 1 и m = 1):

, (4.18)

. (4.19)

Здесь, по-прежнему, , а R/c – время, в течение которого распространяющееся со скоростью с поле достигает точки наблюдения. Таким образом, поле в точке наблюдения в момент времени t определяется значениями зарядов и токов в различные предшествующие моменты времени.

Если полный заряд системы зарядов равен нулю, а электрический дипольный момент отличен от нуля, то на больших расстояниях в волновой зоне (r >>l >> l~ r¢;; l - линейный размер системы)

, (4.20)

где точка над означает дифференцирование по времени, а штрих подразумевает, что значение дипольного момента берется в момент времени (t - t). Задержка t = r/c представляет собой время, в течение которого поле распространяется от системы зарядов как целого до точки наблюдения. Из (4.20) видно, что электромагнитное поле электрического диполя в волновой зоне представляет собой сферическую волну. Поэтому величины j и в (4.20) называются радиационными потенциалами.

С радиационными потенциалами связаны напряженность электрического и индукция магнитного поля излучения диполя:

. (4.21)

Т.к. сферическую волну на больших расстояниях от источника можно рассматривать как плоскую, то плотность потока энергии дипольного излучения, равная , может быть преобразована к виду (см. рис.4.1):

(4.22)

Полная энергия, теряемая диполем в единицу времени (мощность излучения) может быть получена интегрированием по полному телесному углу, т.е. всем значениям углов q и f:

. (4.23)

Если электрический дипольный момент системы зарядов равен нулю, но отличен от нуля магнитный момент, то поле излучения в волновой зоне определяется этим моментом и описывается выражениями:

. (4.24)