ПОТОК МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

В природе не существует магнитных зарядов. Это означает, что линии вектора нигде не начинаются и не заканчиваются. Поэтому поток вектора через любую замкнутую поверхность должен быть равен нулю:

, (3.8)

и число линий вектора , выходящих из некоторого объема, равно числу линий, входящих в этот объем. Это теорема Гаусса для вектора .

Из этой теоремы следует, что поток вектора сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности.

Применив к выражению (3.8.) теорему Стокса получаем:

,

здесь V – объем, ограниченный поверхностью S. Тогда

(3.9)

- дивергенция вектора в любой точке поля равна нулю, т.е. магнитное поле не имеет источников истоков (т.е. нет магнитных зарядов, и не они порождают магнитное поле, а электрические токи). Это дифференциальная форма теоремы Гаусса. Она справедлива как для постоянных, так и для переменных магнитных полей.

 

Лекция 7

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. НАМАГНИЧЕНИЕ МАГНЕТИКА. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТОКИ. ВЕКТОР НАМАГНИЧЕННОСТИ И ЕГО СВЯЗЬ С ПЛОТНОСТЬЮ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТОКОВ. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ И МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле , которое накладывается на обусловленное токами поле . Результирующее поле, таким образом, равно:

.

С точки зрения Ампера, намагничение тел объясняется наличием в молекулах циркулирующих токов, которые получили название молекулярных токов. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и результирующее поле равно нулю.

Под действием магнитного поля магнитные моменты поворачиваются по полю и вследствие этого магнетик намагничивается, магнитный момент его становится отличным от нуля и возникает поле . Намагниченностью называют магнитный момент единицы объема , где – магнитный момент отдельной молекулы.

Поле также как и поле не имеет источников, поэтому дивергенция результирующего поля равна нулю:

.

Ротор результирующего поля равен , причем, , где – плотность макроскопического тока. Тогда, по аналогии, ротор вектора должен быть пропорционален плотности молекулярных токов:

,

а ротор результирующего поля равен:

. (3.10)

Таким образом, для того, чтобы вычислить ротор , надо знать плотность как макротоков, так и молекулярных токов, причем плотность молекулярных токов зависит от . Чтобы обойти это затруднение, необходимо ввести некоторую вспомогательную величину. Найдем ее.

Выразим плотность молекулярных токов , через намагниченность магнетика . Сумма молекулярных токов, охватываемых замкнутым контуром, равна интегралу по поверхности этого контура:

.

Рассмотрим элемент контура , который образует с вектором намагниченности угол (рис.3.19). Этот элемент нанизывают на себя молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра объемом (где –площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если число молекул в единице объема обозначить через n, то суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом , можно выразить формулой:

.

Произведение – это магнитный момент отдельного молекулярного тока. Тогда – магнитный момент единицы объема, по определению – это модуль вектора намагниченности

.

Тогда - проекция вектора на направление . Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом , равен скалярному произведению , а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром, равна:

.

Правую часть этого выражения преобразуем по теореме Стокса: .

- циркуляция вектора по произвольному контуру L равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром, где S – поверхность, которая опирается на контур L, получаем - интегралы равны. Это возможно, когда равны подынтегральные выражения. Имеем

(3.11)

- плотность молекулярных токов равна ротору вектора намагниченности.

Подставим значение из (3.11) в выражение (3.10), имеем:

, (3.12)

или .

Сравнив последнее выражение с законом полного тока в форме (3. 4), видим, что разность векторов, стоящая под знаком ротора в левой части (3. 12) есть не что иное, как вектор напряженности :

- это и есть искомый вспомогательный вектор.

Вектор для магнитного поля является аналогом вектора электрического смещения для поля электрического. Он, также как и не зависит от среды.

Принято, что в каждой точке магнетика , где – магнитная восприимчивость, характеризующая способность вещества намагничиваться. В слабых полях не зависит от .

Тогда , или , причем – магнитная проницаемость вещества.