ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Метод главных компонент был предложен Пирсоном в 1901 году и затем вновь открыт и детально разработан Хоттелингом (1933г.) Данный метод применяется

Метод главных компонент был предложен Пирсоном в 1901 году и затем вновь открыт и детально разработан Хоттелингом (1933г.) Данный метод применяется, например, для сжатия объемов хранимой информации и упрощения её интерпретации или сравнения многомерных исследуемых объектов, позволяя снизить размерность исходного признакового пространства ( - исходный признак) и перейти к новым агрегированным признакам ( -главная компонента), . При этом новые показатели представляют собой линейные комбинации исходных , коррелированных между собой, формула (1).

(1)

где и — среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение признака x_i.;

w_ij - коэффициенты главных компонент, максимизирующие дисперсию y_j, которые находятся из уравнения , имеющее решение, если , где S- ковариационная (или корреляционная) матрица;

- собственные числа матрицы S - равны дисперсиям проекций множества объектов на оси главных компонент (или диагоналям эллипса рассеяния), рисунок 1. На рисунке 1 “p” точек сосредоточены в трехмерном пространстве двух систем координат: переменных x_1, x_2, x₃ и главных компонент у_1, у_2, у_3. При этом оси ОУ₁, ОУ₂, ОУ₃ проходят через центр тяжести эллипсоида рассеяния.

Традиционный алгоритм расчета главных компонент включает переход от исходной матрицы наблюдений Х к ковариационной (или корреляционной) матрице S между исходными признаками , далее к расчету собственных чисел . Основываясь на наибольших собственных числах, наилучшим образом объясняющих исходное пространство признаков, производится переход к главным компонентам путём определения их коэффициентов w_j= (w_1j,...,w_pj) ', максимизирующих дисперсию проекций множества объектов на оси главных компонент. Таким образом, выбираются только те главные компоненты, изменчивость которых покрывает большую часть изменчивости .

Рисунок 1 – Диаграмма рассеяния x_1, x_2, x₃