ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

 

Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. При этом предполагается, что между независимыми переменными x₁…x_m и зависимой переменной у существует только прямая связь: x_i->y, i=1…m. В такой ситуации зависимая переменная у не оказывает никакого влияния на переменные, входящие в правую часть модели, которые в свою очередь можно изменять независимо друг от друга. В большинстве случаев для оценки таких моделей используется метод 1МНК.

Однако, описание сложного экономического процесса предполагает использование системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений – simultaneous equations, структурная форма которой представлена формулой (1).

(1)

y1=b12*y2+b13*y3+…+b1n*yn+a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1; y2=b21*y1+b23*y3+…+b2n*yn+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2; ... yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en,

 

 

Û BY + AX = E,

 

 

где а и b – структурные параметры модели;

y_i – эндогенная (зависимая) переменная, определяемая внутри модели (i=1…n);

x_i – предопределённая переменная: экзогенная (независимая) переменная, определяемая вне системы, или лаговая (запаздывающая) эндогенная.

В данной системе эндогенные переменные взаимосвязаны, одни и те же эндогенные переменные в одних уравнениях входят в левую часть системы, а в других – в правую, поэтому каждое уравнение не может рассматриваться самостоятельно и для нахождения его параметров традиционный 1МНК неприменим.

Для оценивания параметров структурной модели (1) используются следующие методы:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК – Two-Stage Least Squares, tsls);

• трехшаговый метод наименьших квадратов (3МНК – Three-Stage Least Squares, 3sls);

• метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП);

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП).

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1. Точно идентифицируемые (все структурные параметры определяются однозначно, единственным образом; для решения системы используется КМНК, 2МНК или 3МНК), D+1=H;

2. Неидентифицируемые (нерешаемы, т.к. один или более параметров не могут быть определены), D+1<H;

3. Сверхидентифицируемые (все структурные параметры определяются, но некоторые из них могут принимать одновременно несколько значений; для решения системы используется 2МНК или 3МНК), D+1>H.

Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы является приведенной формой модели (2).

............ Û (2)

,

где p_ij - коэффициенты приведенной формы модели.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК) является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений, поэтому в ряде компьютерных программ для её решения рассматривается лишь двухшаговый метод наименьших квадратов; пакет Gretl 1.7.1 содержит 2МНК и 3МНК методы.

Основная идея 2МНК заключается в том, что на основе приведенной формы модели (2) получают методом 1МНК для каждого i-го (сверхидентифицируемого или идентифицируемого) уравнения системы (1) теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения , формула (3).

, (3)

где - матрица значений всех предопределённых переменных системы;

- матрица оценок эндогенных переменных в правой части і-го уравнения;

– подматрица матрицы оценок параметров приведенной формы (2), соответствующих эндогенным переменным, включённым в правую часть i-го структурного уравнения ( получено применением 1МНК к системе (2));

Затем, подставив вместо фактических значений в правой части уравнения, можно применить 1МНК к каждому уравнению структурной формы (1). Т.е. строятся 1МНК оценки структурных параметров в регрессии (4).

(4) Формула (4) отражает каждое уравнение системы (1) после того как фактические значения эндогенных переменных в правой части были заменены на их теоретические значения (оценки) .