Числа в памяти компьютераСуществуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа. Целые отрицательные числа. Разберемся, как представляются отрицательные числа. Казалось бы, для этого достаточно заменить 0 на 1 в старшем (31-м) разряде ячейки памяти. Однако реально это делается несколько сложнее. Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код. Дополнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2. Получить дополнительный код можно следующим путем: 1. записать внутреннее представление положительного числа X; 2. записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0; 3. к полученному числу прибавить 1. Определим по этим правилам внутреннее представление числа -562810 в 32-разрядной ячейке. Шестнадцатеричная форма результата: FF FF ЕА 04.
Старший разряд в представлении любого отрицательного числа равен 1. Следовательно, он указывает на знак числа и поэтому называется знаковым разрядом. Почему отрицательные числа представляются в дополнительном коде? Дело в том, что в этом случае операция вычитания двух чисел сводится к сложению с дополнительным кодом вычитаемого, и процессору достаточно уметь лишь складывать числа. В самом деле: А - В = А + (-В). Если значение (-В) будет иметь форму дополнительного кода, то в памяти ЭВМ получится правильный результат. Проверим, действительно ли в ячейке памяти получится О в результате сложения числа 5628 с числом -5628 в форме дополнительного кода. 00000000 00000000 00010101 11111100 + 11111111 11111111 11101010 000000100 = 1 00000000 00000000 00000000 00000000 Что и требовалось доказать! Единица в старшем разряде, получаемая при сложении, выходит за границу разрядной сетки машинного слова и исчезает. Двоичное 32-разрядное число 231 является «отрицательным самому себе». Получим его дополнительный код: Определим по этим правилам внутреннее представление числа -562810 в 32-разрядной ячейке. Полученный код используется для представления значения -231 = -2147483648. Следовательно, диапазон представления целых чисел в 32-разрядном машинном слове: -231 <= Х <= 231-1, или -2147483648 <= Х <= 2147483647. В общем случае для N-разрядного машинного слова этот диапазон такой: -2N-1 <= X <= 2N-1-1. В современных компьютерах часто используется 16- разрядное представление целых чисел. В этом случае их диапазон следующий: -215 <= Х <= 215-1, или -32768 <= Х <= 32767. Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполнение при вычислениях с фиксированной точкой не вызывает прерывания работы процессора. Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными. Вещественные числа. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с веществен-ными числами. Как же такие числа представляются в памяти компьютера? Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой. Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком: R = m * рn Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0.25324х102. Здесь m=0.25324 — мантисса, n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства: 25,324 = 2,5324*101 = 0,0025324*104 = 2532,4*102 и т.п. Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализован-ном представлении должна удовлетворять условию: 0,1p <= m < 1p. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0.25324 * 102. В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных. Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:
1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы. Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:
Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними ыразится такой формулой: Мр = р + 64. Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает. Полученная формула записана в десятичной системе. Поскольку 6410=4016 (проверьте!), то в шестнадцатеричной системе формула примет вид: Мр16 = р16 + 4016 И, наконец, в двоичной системе: Мр2 = р2+100 00002 Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 25,324 в форме с плавающей точкой. 1. Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами. 25,32410= 11001,01010010111100011012 2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,110010101001011110001101*10101 Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (510=1012)записаны в двоичной системе. 3. Вычислим машинный порядок. Мр2 = 101 + 100 0000 = 100 0101 4. Запишем представление числа в ячейке памяти. Это и есть искомый результат. Его можно переписать в более компактной шестнадцатеричной форме:
Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -25,324,достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1. Получим: А в шестнадцатеричной форме:
Никакого инвертирования, как для отрицательных чисел с фиксированной точкой, здесь не происходит. Рассмотрим, наконец, вопрос о диапазоне чисел, представимых в форме с плавающей точкой. Очевидно, положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю: Rmax = |Rmin|. Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Чему же равно Rmax? Это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком: 0,111111111111111111111111*1021111111 Если перевести в десятичную систему, то получится Rmax = (1 - 2-24) * 264 = 1019 Очевидно, что диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Если в результате вычислений получается число по модулю большее, чем Rmax, то происходит прерывание работы процессора. Такая ситуация называется переполнением при вычислениях с плавающей точкой. Наименьшее по модулю ненулевое значение равно: (1/2) * 2-64=2-66. Любые значения, меньшие данного по абсолютной величине, воспринимаются процессором как нулевые. Как известно из математики, множество действительных чисел бесконечно и непрерывно. Множество же вещественных чисел, представимых в памяти ЭВМ в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Каждое следующее значение получается прибавлением к мантиссе предыдущего единицы в последнем (24-м) разряде. Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти машины, вычисляется по формуле: N = 2t * (U - L+ 1) + 1. Здесь t — количество двоичных разрядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотренного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается: N = 2 146 683 548. Все же остальные числа, не попадающие в это множество, но находящиеся в диапазоне допустимых значений, представляются в памяти приближенно (мантисса обрезается на 24-м разряде). А поскольку числа имеют погрешности, то и результаты вычислений с этими числами также будут содержать погрешность. Из сказанного следует вывод: вычисления с вещественными числами в компьютере выполняются приближенно. Презентация:http://www.slideshare.net/Moravskiy/ss-9083291
|
