Простые проценты

Рассмотрим схему однократного представления некоторой суммы Р в кредит на время t.

За использование кредита надо платить. Возврат кредита составит

S = Р +I.

Плата I носит на­звание "процент" (interest). Чем боль­ше время, на которое выдается кредит, тем больше процент. В простейшем случае полагают I = rt.

 

 

Размерность процентной ставки r (rate of interest) —

ден.ед./год.

 

Например: "Ставка со­ставляет

0.06 руб./год".

 

Принято говорить так: "Ставка состав­ляет 6% годовых в рублях".

 

 

Величина наращенной суммы определя­ется по формуле: S=P(1+rt).

В этой формуле примем, что t = 1 год, тогда

S = Р(1 + r).

 

Отношение S/P =(1+rt) носит название

" ко­эффициент наращения";.

Упражнение7.1.1.

Что означает 50% годовых? S = Р(1+0.5) = 1.5 Р, т.е. наращенная сумма в полтора раза боль­ше первоначальной.

А во сколько раз вырастет исходная сумма при 500% годовых? В шесть раз. (Можно сказать иначе: коэффициент наращения равен шести.)

Как проводить вычисления для простых процентов? Началь­ная сумма Р задана, задана ставка процента r (ставка должна быть отнесе­на к году). Время нужно выразить в долях года.

Доля года вычисляется по формуле ,

 

где t — число дней ссуды,

К — число дней в году, или временная база.

 

Измерение времени в финансовых расчётах сопровождается условными соглашениями, которые предлагают два основных подхода:

1) придерживаться точного числа дней в году (365) и точного числа дней в месяцах;

2) считать, что год состоит из 12 месяцев, каждый по 30 дней (360 дней в году).

 

Функция ДОЛЯГОДА (нач_дата, кон_дата, метод)

возвращает частное от деления количества дней между нач_дата и кон_дата на количество дней в году.

В зависимости от выбора метода расчёта задаются параметры

0 (или опущен),1,2.

Упражнение7.1.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 янва­ря до 5 октября включительно по 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока?

Решение. Обратимся к финансовым функциям.

нач_дата	20-янв
кон_дата	05-окт
ссуда	1 000000
ставка	18%
метод	результат	формулы=
(365/365)	1 12723288	=ссуда*(1 + ДОЛЯГОДА (нач_дата, кон_дата, 1)*ставка)
(360/365)	1 12900000	=ссуда*(1 +ДОЛЯГОДА (нач_дата, кон_дата, 2)*ставка)
(360/360)	1 127500.00	=ссуда*(1 +ДОЛЯГОДА (нач_дата, кон_дата, 0)*ставка)

G Примечание.

При использовании финансовых функций надо учитывать знаки денежных сумм, помня, с чьей точки зрения рассматривается финансовая операция — кредитора или деби­тора.

Положительные платежи означают поступление денег, отрицательные платежи - выплату денег. Поэтому современное и будущее значение связаны соотношением S+P(1+rt)=0, а S и P имеют противоположные знаки.

 

Время в финансовых функциях измеряется в

периодах. Гра­ницы периодов — это моменты

платежей. Период может со­ставлять год,

квартал, месяц, день.

 

 

 

G Примечание. Обычно процентную ставку относят к фиксированному периоду (как правило, году).

Начисление по схеме простых процентов:

S + P(1 + rТ)=0,

 

Начисление по схеме

сложных про­центов:

S + Р(1 + r)^T=0

.

 

Для вычисления наращенной суммы можно использовать функцию БЗ — будущее значение.

 

Эта функция предназначена для вычисления по схеме сложных процентов.

G Примечание. При T = 1 формулы для вычисления S по схеме

простых и сложных процентов совпадают.

Синтаксис БЗ:

Б3 (норма, число периодов, выплата, начальное значение, тип).

Упражнение 7.1.3. Выдан кредит в сумме 1 млн. долл. с

15.01.99 по 15.03.99 под 12% годовых.

Рассчитать сумму погасительного платежа.

Решение. Рассчитать будущее значение исходной суммы можно с помощью функции Б3. Прежде чем воспользоваться этой функцией, следует провести некоторые расчеты.

Число периодов для простых процентов равно 1, но проценты даны годовые. Поэто­му предварительно следует вычислить процентную ставку за указанный в условии задачи период (год).

	А	В	C
	годовая ставка	12%
	дата выдачи кредита	15/01/99
	дата возврата кредита	15/03/99
	сумма кредита	$1 000 000.00
			формулы=
	срок кредита в днях		= В5 - В4
	срок кредита в годах	0.162	= В8 / 365
	ставка для периода	1.94%	= ВЗ * В9
	сумма возврата	-$1 019 397,26	=БЗ (В10,1,,В6)

Рис.19. Таблица расчётов к упражнению 7.1.3.

Результат (платежи!) получился отрицательным.

G Пояснения к упр. 7.1.3. Третий (пропущенный) аргумент функции БЗ - выплаты. Под выплатами подразумеваются промежуточные равные вы­платы в начале (ТИП =1) или в конце (ТИП = 0 или опущен) пе­риода. В этом упражнении выплат нет.

7.2. Сложные проценты

В договорах указы­ваются годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год, деленный на m, а ставка сложных процентов для периода равна r/m. Формула для сложных процентов приобретает вид:

S + P (1 + )^T = 0 (Т измеряется в периодах).

Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид: S + P (1 + )^km = 0.

Упражнение 7.2.1. Ссуда в 20 000 долл. дана на полтора года под ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.

Решение. Здесь базовый период — квартал. Срок ссуды составляет 6 периодов (4 квартала в году, срок полтора года), за период начисляется 7% = 28%/4. Тогда формула, дающая решение задачи, имеет вид: = Б3 (28%/4, 4 * 1.5,, 20000).

Она возвращает результат: -30 014.61$.

Упражнение 7.2.2. По вкладу размером 2000 тыс. руб начисляется 10% годовых. Рассчитать, какая сумма будет на сберегательном счете через 5 лет, если проценты начисляются ежемесячно.

Решение: БЗ(10%/12;5*12;;-2000) Ответ - 3 290.62 тыс.руб.

Упражнение 7.2.3. На сберегательный счет вносятся платежи по 200 тыс.руб в начале каждого месяца. Рассчитать, какая сумма окажется на счете через 4 года при ставке процента 13,5 годовых.

Решение: =БЗ(13,5%/12;4*12;-200;;1)

Ответ - 12 779,34 т.руб.

 

Сравнить будущее значение счета, если платежи вносятся в конце каждого месяца.

Решение: =БЗ(13,5%/12;4*12;-200) Ответ - 12 637,17 тыс.руб.

Упражнение 7.2.4. Банк принимает вклад на срок 3 месяца с объяв­ленной годовой ставкой 10% или на 6 месяцев под 11%. Как выгоднее вкладывать деньги на полгода: дважды на три месяца или один раз на 6 месяцев?

Решение: Вычислить коэффициенты наращения для обеих предлагаемых схем.

Для 1-ой схемы = Б3(10% * (3/12), 2,,-1000р.) =1 050,63р.,

для 2-ой схемы = Б3(11% * (6/12), 1,,-1000р.) =1 055,00р.

Упражнение 7.2.5. Рассчитать будущее значение вклада 1000 руб. через 0, 1, 2, 3, 4, 5 лет при годовых процентных ставках 10%, 20%,..., 50%.

Дополнительные поступления и выплаты отсутствуют.

Решение.

1) В ячейку В1 поместить величину начального зна­чения вклада;

2) в ячейки B2:G2 разместить числа 0, 1,..., 5 - срок вклада;

3) в ячей­ки АЗ:А7 величины 10%, 20%,..., 50% - процентные ставки;

4) протабулировать функцию двух переменных (процентная ставка и количество лет), зависящую от параметра — начального вклада:

§ ввести в ячейку ВЗ формулу =БЗ($АЗ; В$2;; -$В$1)

§ скопировать формулу в остальные ячейки интервала B3:G7.

5)

изменяя значение в ячейке В1 рассчитать будущую сумму вклада.

Рис. 20. Таблица расчётов упражнения 7.2.5.

Если процентная ставка меняется с течением времени, то для расчёта будущего значения инвестиции (единой суммы) после начисления сложных процентов можно использовать функцию БЗРАСПИС (в англ. варианте - FvSchedule). Синтаксис функции:

БЗРАСПИС (инвестиция, {ставка1; ставка2; …; ставкаN})

G Примечания.

1. Ставки необходимо вводить не в виде процентов, а как числа (0,1; 0,15; 0,05).

2. Вместо массива ставок можно указывать блок ячеек, содержащий процентные ставки.

Упражнение 7.2.6. По облигации номиналом 100 тыс.руб., выпущенной на 6 лет, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в 1-й год -10%, в два последующих года - 20%, в оставшиеся 3 года - 25%.

Рассчитать будущую стоимость облигации по сложной процентной ставке.

Решение: БЗРАСПИС (100, А1:А6) Результат = 309,38

(А1:А6 - 10%, 20%, 20%, 25%, 25%, 25%).

Задача 7.2.1. Построить семейство графиков зависи­мости будущего значения от срока (Упр.7.2.5).

Форматировать шкалу зна­чений как логарифми-ческую

и объяснить вид полученных гра­фиков (рис. 21).

РРис. 21. Семейство графиков к задаче 7.2.1.

Задача 7.2.2. Рассчитать будущую стоимость облигации номиналом $300, выпущенной на 5 лет, если порядок начисления процентов таков: в первые два года -13,5% годовых, в следующие два года - 15%, в последний год - 20%.