Предел логарифмической функциигде основание a > 0. Теорема "о двух милиционерах" Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны: · Первый замечательный предел: · Второй замечательный предел: Первый замечательный предел Доказательство Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA) (из : | LA | = tg x) Подставляя в (1), получим: Так как при : Умножаем на sin x: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия · · · · Доказательство следствий
|