Предел логарифмической функции
где основание a > 0. Теорема "о двух милиционерах"; Предположим, что
то
То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны: · Первый замечательный предел:
· Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы Пусть Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из Подставляя в (1), получим:
Так как при
Умножаем на sin x:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия · · · · Доказательство следствий
|
для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если
и 
и докажем, что они равны 1.
. Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
(1)
: | LA | = tg x)
:
