Функции нескольких переменных. Частные производные, дифференциалы функций нескольких переменных.

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Пример 2.

; ;

; .

Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле .

Для функции трех переменных .

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства ; , которые применяются для приближенного вычисления значения функции

. (*)

Пример 3. Вычислить приближенное значение: .

Решение. Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

; ; ; .

Подставляя в формулу (*), найдем:

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .

Пример 4. . Найти , , .

Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ;

; .