Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Неопределенный интеграл

Пусть Р₀(х₀,у₀) – точка локального экстремума для функции z = f(x,y). Зафиксируем значение одной переменной у = у₀, тогда функция z = f(x,y₀) является функцией одной переменной х, а х = х₀ - ее точка экстремума. По необходимому признаку для функции одной переменной производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. f_x¢(х₀,у₀) = 0 или не существует. Для функции z = f(x, y) это условие, очевидно, означает, что в точке экстремума частная производная по х равна нулю или не существует. Аналогичные рассуждения можно провести для другой переменной. Таким образом, получаем следующие необходимые условия существования экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция z = f(x, y) в точке имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x¢(P₀) = 0, f_y¢(P₀) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

 

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P₀ параллельна плоскости Оху (z_x¢(P₀) = 0, z_y¢(P₀) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справедливыми и для функций большего числа переменных.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке функция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) находят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

 

(3)

 

Пример 1.Найти стационарные точки функции z = x³ + y³ - 3 x y.

Решение. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (3):

 

или

 

Решив эту систему, получим две стационарные точки Р₁( 0,0 ) и Р₂( 1,1 ).

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точкой экстремума, т. е. необходимые условия (теорема 1) не являются достаточными условиями существования экстремума.

Действительно, для функции z = xy точка (0,0) является критической, так как в ней частные производные z_x¢ = y, z_y¢ = x обращаются в нуль. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, поскольку в точке (0,0) функция равна нулю, а в любой окрестности данной точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, не существует окрестности точки (0,0), где приращение функции сохраняет знак.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые будут сформулированы ниже в виде теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) в стационарной точке Р₀ (х₀,у₀) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f¢¢_xx (Р₀), B = f¢¢_xy (Р₀), C = f¢¢_yy (Р₀) и D(Р₀) = АС - В², то возможны три случая:

1) при D(Р₀) > 0 Р₀ – точка экстремума, причем, в точке Р₀ максимум, когда А <0, и минимум, когда А > 0;

2) при D(Р₀) < 0 Р₀ не является точкой экстремума;

3) при D(Р₀) = 0 о характере стационарной точки Р₀ никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

 

Замечание. Приведенные выше условия эквивалентны следующим. Пусть Р₀ – стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р₀) = 0, тогда:

1) если d²f(Р₀) < 0 при dx² + dy² ¹ 0, то f(Р₀) – максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р₀) > 0 при dx² + dy² ¹ 0, то f(Р₀) – минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р₀) меняет знак, то f(Р₀) не является экстремумом.

 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z = (x² - 2y²) e ^{x - y}.

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

 

Приравнивая их к нулю, получим систему

 

 

Решениями системы являются две стационарные точки: Р₁(0, 0) и Р₂( – 4, – 2). Для выяснения их характера согласно теореме 2 найдем D(Р₁) и D(Р₂), вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

 

 

Для точки Р₁(0, 0) имеем А = 2, В = 0, С = - 4 и D(Р₁) = АС - В ² = - 8 < 0. На основании теоремы 2 делаем вывод, что в точке Р₁ функция экстремума не имеет. Для точки Р₂ соответственно получаем

 

А = – 6е ^{- 2}, В = 8е ^{- 2}, С = – 12е ^{- 2} и D(Р₂) = АС – В ² =72е ^{- 4} - 64е ^{- 4}= 8е ^{- 4} >0.

 

Следовательно, Р₂( – 4, – 2) – точка экстремума, а поскольку А = – 6е ^{- 2} < 0, то Р₂ – точка минимума и минимальное значение функции f(Р₂) = 8е ^{- 2}.

16. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов: Свойства неопределенного интеграла.

Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.