AX = B,
где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу
для которой AС = В, - вектор-решением системы.
Критерий совместности линейных уравнений
Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.
Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1, x2,..., xn

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:
xn =dn, xi = di -S nk=i+1 cik xk, i=n-1, n-2,...,1.
Матричная запись метода Гаусса.
- Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы
к ступенчатому виду
с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:
o перестановка строк;
o умножение строки на число, отличное от нуля;
o сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).
- Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
,
последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть функция
определена в окрестности
и для любого
> 0 найдётся такое
, что
, лишь только 
тогда говорят, что
— бесконечно малое порядка
.
Пусть
— вещественнозначная функция, заданная на отрезке
. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале
, если

для любого
и любого
. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке
функции образуют кольцо гладких функций
.
Коэффициенты 

Эти функции называют производными функции
. Первая производная может быть вычислена как предел
.
Оператор, сопоставляющий функции
её производную
обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно
и 
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.
Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке
, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.