Матрицы. Основные определения. Действия над матрицами. Их свойства.

Матрицы. Основные определения. Действия над матрицами. Их свойства.

Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

1. Сложение матриц

Сложение: операция сложения матрицы вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц и называется матрица такая, что , например,

, ,

тогда

.

Аналогично определяется разность матриц.

 

2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что

Примечание: матрица называется противоположной матрице .

Операции сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

 

3. Умножение матрицы на матрицу

Мы будем всегда говорить, что умножение двух матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

; ; ; ; . ,

где ; .

Например:

.

В общем случае .

Продолжим перечисление свойств (см. п. 2.3.2):

 

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) .

4. Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относят:

– перестановку местами двух параллельных рядов матрицы;

– умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

– прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы и называются эквивалентными, т. е. ~ , если одна из них получается с помощью замен парных преобразований другой.

При получении элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

 

5. Определители матриц и их свойства

Квадратную матрицу порядка n можно сопоставить с числом (или , или ), называемым определителем или детерминантом.

Вычисление определителя:

;

,

т. е. правило:

;

т. е. Правило треугольника (или Саррюса):

^.

Отметим следующие свойства определителей:

– определители не изменяются, если его строки заменить столбцами и наоборот (строки и столбцы это ряд определителя);

– при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак;

– определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю;

– общий множитель элементов какого-либо рода определителя можно вынести за знак определителя;

– если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму соответственных определителей;

– определитель не изменяется, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число;

Дальнейшие свойства связаны с понятием минора и алгебраического дополнения.

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Вычисление. Свойства. Определители n-ГО порядка (n>>3). Вычисление.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

.

 

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

(9)

и вычисляемым по данным числам (действительным или комплексным) — элементам определителя – по следующему закону: есть сумма

,

распространенная на всевозможные различные перестановки из чисел 1, 2, …, . Число равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, …, к перестановке . Произведение называется членом определителя.

Определители -го порядка удовлетворяют свойствам а), б), в), г), д), перечисленным в предыдущем параграфе.

Доказательство. а) После замены у определителя соответствующих строк столбцами теперь уже номера строк будут обозначаться вторыми индексами. Например, для определителя третьего порядка (2) будем иметь

.

В общем случае общий член нового определителя запишется

.

Упорядочим множители произведения по первому индексу, т. е. мы переходим от перестановки к основной перестановке 1, 2, … . При этом мы должны совершить транспозиций. Тогда основная перестановка вторых индексов перейдет в некоторую перестановку и число будет той же четности, что и число . Таким образом,

.

Нетрудно видеть, что разным перестановкам соответствуют разные перестановки . Но тогда

.

б) Поменяем местами, например, первую и третью строки определителя третьего порядка (2). Тогда получим определитель, который обозначим через , он будет равен

,

так как перестановка отличается от перестановки одной транспозицией.

Будем говорить, что число умножается, на строку (столбец) определителя, если на самом деле умножается на все элементы строки (столбца).

в) Умножение на число какой-либо строки (столбца) определителя сводится к умножению всех его членов на , потому что каждый член содержит один элемент указанной строки (столбца). Но тогда величина суммы членов умножится на .

г) Определитель, у которого элементы какого-либо столбца или строки равны нулю, равен нулю, потому что все его члены, очевидно, равны нулю.

д) Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Это следует из свойства б) (, , откуда ).

Вычеркнем из определителя (9) -го порядка -ю строку и -й столбец. Оставшееся выражение порождает определитель -го порядка , называемый минором элемента . Величина же

называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента .

Свойство е) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:

, (10)

(10')

Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем

Сумму (10) называют разложением определителя по элементам -й строки, а сумму (10') - разложением определителя по элементам -го столбца.