Диапазоны представимых чисел в форме с фиксированной и плавающей запятой.

Для того что бы найти диапазон чисел, представимых в разрядных сетках с фиксированной запятой надо найти наибольшее и наименьшее значение чисел для положительной и отрицательной частей числовой оси.

Начнём с разрядной сетки типа ФЗ,

а. Для простоты рассмотрим случай . Наибольшее положительное число в разрядной сетке будет иметь вид:

Его можно выразить как , где – число разрядов, отведённых под запись числа.

 

 

Наименьшее положительное		или 1;
наибольшее отрицательное		или –1;
наименьшее отрицательное		или

Объединив полученные результаты, запишем диапазон:

Для произвольной натуральной системы счисления с основанием p:

Все числа образуют область машинного нуля, попадая в которую число считается равным нулю;

все числа образуют область переполнения - если в процессе вычислений промежуточный результат попадает в эту область, то следует аварийная остановка вычислительного процесса.

Рассуждая аналогично, найдём диапазон чисел в разрядной сетке типа ФЗ, б:

Чтобы произвольное число х поместилось в разрядную сетку, в общем случае его предварительно следует отмасштабировать, т. е. домножить на число – масштаб, такое, чтобы результат соответствовал имеющейся разрядной сетке.

Необходимость ручного масштабирования является одним из основных недостатков разрядных сеток такого типа, ограничивая их применение в вычислительных машинах. Кроме того, относительная погрешность малых чисел оказывается очень высока при таком способе их записи. Поэтому на практике большее применение получили разрядные сетки с плавающей запятой, в которых размещается не только само число, но и его масштаб.

Диапазон представимых чисел для разрядных сеток с плавающей запятой значительно шире, чем для сеток с фиксированной запятой.

Для положительных чисел получаем:

наибольшее или
наименьшее или

 

Для отрицательных чисел:

наибольшее		или
наименьшее		или

Объединяем интервалы:

Этот результат получен для 2-ичной СС, но его легко обобщить для произвольной натуральной СС с основанием :

Отсюда видно, что чем больше и , тем шире диапазон представимых чисел.

Область машинного нуля имеет вид она зависит только от – числа разрядов, отведённых под порядок.

Область переполнения определяется всеми параметрами сетки.

Итак, представление числа с плавающей запятой имеет ряд преимуществ:

– шире диапазон представимых чисел;

– не требуется предварительное масштабирование чисел;

– относительная погрешность числа не зависит от его значения.