Точечные статистические оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия для дискретного и непрерывного случаев. Примеры.

Метод max правдоподобия – выражает плоность вер-сти совместного появления результатов выборки х1, Х2,..., хn: L(x1, x2,…xi…xn; θ)=φ(x1,θ)*φ(x2,θ)…φ(xi,θ)…φ(xn, θ). Исследуем ф-я на max и min. Для этого исслед-ся ln (L(θ)). D lnL\dθ=0 – находим θ₀; d^2lnL\dθ – если <0 – то max, тогда θ= θ₀

22. Доверительные интервалы, доверительная вероятность. Построение доверительных интервалов для математического ожидания нормального распределения (с известной и неизвестной дисперсией).

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из некоторого распределения с плотностью распределения p (x; θ;), зависящей от параметра θ. Задача состоит в том, чтобы построить для θ доверительный интервал.

Опр: Интервал называется доверительным, если с вероятностью (1- α;) неизвестный параметр θ попадает в этот интервал. Тогда (1- α;) — доверительная вероятность.

Доверит. интервал для a при известном параметре σ.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ;), причем a неизвестно, а σ известно.

Построитьдоверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

Для решения задачи воспользуемся следующим фактом.

Пусть X₁, X₂, X_n, — независимые случайные величины, распределение которых нормально с параметрами a и σ. Тогда случайная величина нормальна с параметрами a и . Для обоснования этого утверждения достаточно вычислить плотность распределения . Статистика имеет нормальное распределение с параметрами (0,1)(стандартное нормальное распределение). Пусть — квантиль порядка стандартного нормального распределения. Тогда , следовательно

. Таким образом статистики задаются равенствами , , и доверит. интервал для a построен.

Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ;), причем a и σ неизвестны.

Построитьдоверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

,

Для решения воспользуемся теоремой: Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ;), Статистика имеет распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. (Без доказательства)

Построим, пользуясь этой теоремой, доверительный интервал для a. Для этого прежде всего заметим, что плотность вероятности распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы является четной и положительной функцией x. Поэтому, если — квантиль распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы порядка (то есть корень уравнения F (U) = , где F (U) — функция распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы), то , следовательно,

,

.

Итак, , , и задача решена

23.

24.

25.Статистические гипотезы, постановка задачи построения критерия проверки статистической гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия.

Статистическая гипотеза - любое предположение о виде или параметрах неизвестного з-на р-я. Различают простую и сложную статистич гипотезы.

Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую ф-ю р-я случ велич. Проверяемую гипотезу наз-тся нулевой (или основной) и обозначают Н₀. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают конкурирующую, гипотезу Н1, являющуюся логическим отрицанием Н₀. Н₀ и Н1 - две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. Суть проверки статистической гипотезы: находится характеристика θn – по выборке, θ критическое. Если θn>θкр – Н₀ отвергается, наоборот – принимается. Вер-сть α допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу, когда она верна, называется уровнем значимости. Вер-сть допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу, когда она неверна, обычно обозначают β. Вер-сть (1-β) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна, наз-тся мощностьюкритерия.

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид

Но: θ=Δо, где θ - некоторый параметр исследуемого

распределения, а Δо - область его конкретных значений, состоящая в частном случае из одного значения. При проверке гипотезы указанного типа можно

использовать тот же подход, что при проверке статистич гипотез. Но: а=а_о, против альтернативной Н1: а=а1>a0. Соответствующие критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального закона приведены в табл.