Модель БКШ.

Суммарный спин куперовской пары равен нулю. Однако куперовскую пару нельзя считать обыкновенной бозе-частицой, поскольку радиус связанного состояния двух электрон в пределе слабого взаимодействия существенно больше среднего расстояния между электронами в металле, т. е. куперовские пары сильно перекрываются друг с другом и влияют друг на друга. Поэтому более точно говорить о парных корреляциях в вырожденном Ферми-газе. При этом спаривание происходит не в обычном координатном пространстве, а в импульсном k -пространстве. Теория БКШ описывает сверхпроводящее состояние вырожденного Ферми-газа, обусловленное такими парными корреляциями.

Выше мы установили, что электроны в состояниях могут образовывать связанные состояния. Обозначим через вероятность того, что пара состояний занята. Соответственно через - вероятность того, что пара пуста. Рассмотрим рассеяние:

.

Обозначим через амплитуду вероятности того, что состояния заняты, а состояния ( – пусты:

.

Аналогичную вероятность при рассеянии

Обозначим через

.

Запишем выражение для средней энергии сверхпроводящего состояния с учетом рассеяния

Будем считать, что матричный элемент взаимодействия электронов отличен от нуля только в узком слое толщиной вблизи поверхности Ферми, и заменим его в этой области константой:

Для средней энергии имеем:

.

С учетом тождества

получим следующее уравнение

.

Введем параметр, который далее будем называть параметром порядка:

.

В результате полученное уравнение принимает вид:

.

С помощью преобразований:

,

приведем его к виду:

,

где мы ввели еще один важный параметр

.

Выбирая физически содержательный () корень уравнения получим решение:

.

При этом если то в силу .

График зависимости функции заполнения частиц от квазиимпульса приведен на рисунке:

Исходное уравнение определяет параметр порядка через и , которые, в свою очередь, зависят от . Такое уравнение называется уравнением самосогласования для параметра порядка , или просто уравнением самосогласования.

Рассмотрим решение уравнения самосогласования для параметра порядка:

Введем эффективную константу взаимодействия:

и проинтегрируем уравнение самосогласования

В результате для параметра порядка находим:

Полученное выражение напоминает выражение для энергии связи куперовской пары, но отличается отсутствием двойки в показателе экспоненты. Таким образом параметр порядка существенно превышает по величине энергию связи одиночной куперовской пары, что обусловлено коллективной природой куперовского спаривания в вырожденном Ферми-газе.