Влияние магнитного поля на Джозефсоновский переход

Для возникновения эффекта Джозефсона необходимо наличие слабой связи двух сверхпроводников. Интересен вопрос, как на такую слабую связь влияет магнитное поле. Рассмотрим джозефсоновский контакт, плоскость с туннельной прослойкой толщиной t и шириной L. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а контакт находится в плоскости xz. Будем действовать стандартным образом: проведем разрывный контур C` в плоскости xy, на котором ток равен нулю (для этого контур выбираем на расстоянии λ от берегов разреза), и проинтегрируем выражение для тока. Тем самым мы установим связь скачков фазы на берегах контура с потоком через контур (в интеграле для вектор-потенциала разрывный контур можно безболезненно дополнить до непрерывного). Особенностью вывода служит то, что точки разрыва контура мы выбираем в точках x и x+Δx, расположенных на малом расстоянии друг от друга.

здесь

Переходя от разности к дифференциалу, находим соотношение, связывающее градиент фазы вдоль контакта и градиент потока

учитывая, что поток через контур равен

где , получим соотношение, выражающее связь производной фазы и значение магнитного поля в данной точке:

Подставив данное выражение для магнитного поля выражение для тока, описывающее эффект Джозефсона, в уравнение Максвелла получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение для фазы

здесь мы ввели новый параметр размерности длины - джозефсоновскую длину. При .

Данное уравнение хорошо известно в математике и физике и называется уравнением «синус-Гордон» (sine-Gorgon). Уравнение «синус-Гордон» относится к числу точно интегрируемых методом обратной задачи рассеяния нелинейных уравнений, и у него существуют солитонные и многосолитонные решения (солитон – уединенная волна). В нашем случае солитонное решение описывает джозефсоновский вихрь.

Рассмотрим частные решения уравнения для фазы.

а) Слабое внешнее поле

для фазы и поля получаем затухающие на масштабе λ_J решения.

б) Солитонное решение.

Перейдем к безразмерной координате и запишем

откуда

с учетом граничного условия

находим

Это и есть солитон уравнения синус-Гордона.

Получили область локализации магнитного поля с циркулирующим вокруг бездиссипативным сверхпроводящим током, представляющую из себя джозефсоновский вихрь. Как и абрикосовский вихрь, джозефсоновский вихрь образован незатухающим циркулирующим током. Однако в отличие от абрикосовского вихря джозефсоновский вихрь не имеет нормальной середины – диэлектрическая туннельная прослойка, в которой расположен центр вихря, вся находится в несверхпроводящем состоянии.

 

 

Можно показать, что проникновение дожозефсоновских вихрей в туннельный контакт начинается при магнитном поле, большем критического:

в) Сильное магнитное поле.

При таком поле концентрация вихрей велика, расстояние между ними много меньше джозефсоновской длины, на масштабе которой существенные изменения фазы и магнитного поля в плоскости контакта и, следовательно, магнитное поле можно считать постоянным.

г) Узкий контакт

При влиянием поля джозефсоновских токов можно пренебречь и считать магнитное поле в контакте постоянным и равным внешнему магнитному полю:

Интегрируя уравнение для фазы,

получим выражение для джозефсоновского тока:

Найдем полный ток

где полный поток

и критический ток джозефсоновского котнакта:

В результате мы получили, что максимальное значение тока через котакт определяется выражением

 

Таким образом, аналогично СКВИДу, зависимость максимального значения бездиссипативного тока от магнитного потока имеет (квази)периодический характер. Отличие от СКВИДа связано с тем, что для одиночного перехода поток определяется площадью перехода, а для СКВИДа – площадью петли.