Элементы выпуклого анализа.

1)

Здесь в качестве иллюстрации приведем целый кусок из компьютерной программы Maxima

Решение единственное.

2)

Решений нет (пустое множество).

3)

Решений бесчисленное множество.

 

Элементы выпуклого анализа.

Определение. Подмножество называется выпуклым, если оно наряду с любыми своими точками целиком содержит и отрезок, их соединяющий .

 

Определение. Множество называется строго выпуклым, если его граница не содержит прямолинейных отрезков, или .

Примеры выпуклых множеств: все пространство, гиперплоскость, -мерный куб, шар, прямая.

Невыпуклые множества: кривая поверхность, кривая линия, тор.

Свойства:

1) Пересечение любого числа выпуклых множеств, даже бесконечного, является снова выпуклым множеством.

Для объединения это несправедливо.

2) Для любого невыпуклого подмножества можно ввести понятие его выпуклой оболочки как пересечение всевозможных выпуклых множеств, его содержащих.

Определение. Говорят, что два подмножества в отделимы, если существует такая гиперплоскость, которая разбивает пространство на два полупространства и эти множества принадлежат различным полупространствам, и два подмножества называются отделимыми, если существует вектор .

1)

с – вектор нормали

2)

неотделимые

Теорема. Пусть даны два подмножества и . Тогда, если они:

1) не пересекаются,

2) оба выпуклы,

то они всегда отделимы.