Задача 22. Продажа масла в магазине по кварталам

Продажа масла в магазине по кварталам. Вычислить цепные и базисные, индивидуальные и общие индексы физического объема и цен.

Реализация масла в магазинах за три квартала

Масло	Единица измерения	I квартал	II квартал	III квартал
Объем, тыс.ед. q0	Цена, р. р0	Объем, тыс.ед. q1	Цена, р. р1	Объем, тыс.ед. q2	Цена, р. р2
В пачках Развесное	шт. кг.	1,2 0,4	5,2 22,0	1,1 0,41	5,4 22,0	0,9 0,38	5,6 22,4

 

1. Индивидуальные индексы (на примере масла в пачках):

а) физического объема

цепные:

базисные:

Взаимосвязь индексов:

Произведение цепных индексов равно базисному за тот же период времени:

Частное от деления двух базисных индексов равно цепному за тог же период времени:

б) цен

цепные:

базисные:

2. Общие индексы физического объема (по методике Ласпейреса):

цепные:

базисные:

Взаимосвязь индексов:

1) цепных:

2) базисных:

3. Общие индексы цен (по методике Пааше):

цепные:

базисные:

 

Взаимосвязь:

то есть произведение цепных индексов не равно базисному из-за переменных весов.

 

Задача 23. (корреляционно-регрессионный анализ)

Имеются данные исследования влияния электровооруженности труда на выработку рабочих на пяти предприятиях отрасли. Оп­ределить взаимосвязь между выработкой рабочих и электровооруженно­стью труда и проверить ее значимость. Аналитическое выражение связи проверить на достоверность при уровне значимости α = 0,05.

 

 

Показатели работы предприятий отрасли

Показатель	Номер предприятия
Электровооруженность, кВт/ч на 1 чел., х	6,0	7,2	8,5	10,0	12,1
Выработка, тыс.руб. на 1 чел., у	2,0	4,0	5,0	7,0	8,0

 

Сравнение параллельных рядов таблицы показывает также наличие связи: с ростом электровооруженности растет выработка, направление - прямая связь. Вычисляем линейный коэффициент корреляции, для чего со­ставляем вспомогательную таблицу1:.

Таблица 1. -Вычисление линейного коэффициента корреляции

№ предприятия	Электоровооруженность, кВт/ч на 1 чел. х	Выработка, тыс. р. На 1 чел. у	ху	х2	у2
	6,0 7,2 8,5 10,0 12,1	2,0 4,0 5,0 7,0 8,0	12,0 28,8 42,5 70,0 96,8	36,00 51,84 72,25 100,00 146,41		2,492 3,669 4,944 6,416 8,476
Итого	43,8	26,0	250,1	406,50		25,997

 

Он принимает значения в интервале -1 < г ≤ 1. Если значение отрицательное, то между показателями существует обратная связь; если положи­тельное - прямая. Если r = 0, линейная связь отсутствует, т.е. величины х и у независимы, от 0,1 до 0,3 - слабая; 0,3 - 0,7 - средняя, 0,7 – 0,999 - тесная. Если r = 1, то связь между признаками х и у функциональная, т.е. каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака. Значение r = 0,98 означает, что между электровооруженностью рабочих и производительностью труда существует пря­мая тесная связь, т.е. с увеличением х увеличивается у.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется по

t -критерию Стьюдента по формуле

Если при уровне значимости α = 0,05 эмпирическое значение

t_расч >t_табл,то линейный коэффициент корреляции является значимым.

Табличное значение t - критерия при α - 0,05 и числе степеней свобо­ды v = п - 2 = 5 - 2 = 3 равно 2,571; t_pacч > t_табл,и коэффициент корреля­ции можно признать значимым.

Далее найдем Уравнение связи

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной свя­зи имеет вид: ,где - теоретическое значение результатив­ного признака, полученное по уравнению регрессии; а₀ и а₁ - коэффициен­ты (параметры) уравнения регрессии, которые находят методом наимень­ших квадратов: . Для нахождения минимума данной функции приравнивают частные производные к нулю и получают систему нормальных уравнений:

где п - число единиц изучаемой совокупности; х - признак-фактор, положенный в основу группировки; у - результативный признак.В соответствии с изучаемыми показателями, система нормальных уравнений имеет вид:

Решаем систему уравнений методом Гаусса: каждое уравнение делим на коэффициент при a₀: откуда

_ 9,28 а₁= 5,71

8,76 а₁= 5,20, а₁ = 0,51:0,52 = 0,981.

0,52 а₁= 0,51

Затем подставляем значение а₁ в первое уравнение и находим а₀:

а₀ + 8,76 а₁ = 5,2; а₀ + 8,594 = 5,2; а₀ = 5,2 - 8,594 = - 3,394.

Параметр а₀ - свободный член уравнения можно приближенно интерпретировать как количественную характеристику влияния всех факторов, кроме изучаемого х. Параметр а₁ показывает, в какой мере увеличивается (или уменьшается) значение результативного признака у с изменением (ростом) фактора х на единицу. С ростом электровооруженности на 1 чел. на 1 кВт/ч производительность труда (выработка) растет на 981 р.

Модель уравнения имеет вид:

Подставляя значение х в уравнение, находим - теоретические (выравненные) уровни выработки. Правильность расчета параметров уравне­ния регрессии может быть проверена сравнением:

Имеется явная тенденция роста выработки с увеличением злектровооруженности рабочих.

Для практического использования моделей регрессии производят их проверку на адекватность, т.е. соответствие фактическим данным. Оцен­ка адекватности регрессионной модели производится по формуле с помо­щью критерия Фишера: где т - число параметров модели; n - число единиц наблюдения. Эмпирическое значение критерия F_Э сравнивается с табличным (критическим) F_Т при уровне значимости α - 0,05 и числом степеней свободы (m - 1), (n - m). Если F_Э > F_T, уравнение регрес­сии признается значимым.

При численности изучаемой совокупности п<;30 единиц необходимо проверять значимость (существенность) каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют, насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин.

Значимость коэффициентов проверяется с помощью t - критерия Стьюдента. Вычисляют расчетные (фактические) значения t - критерия:

где п - объем изучаемой совокупности; - остаточная дисперсия результативного признака у от выравненных значений :

- дисперсия факторного признака х от общей средней . Расчет­ные (фактические) значения t - критерия сравниваются со значениями по таблице Стьюдента при уровне значимости α= 0,05 или α = 0,01 и чис­лом степеней свободы (n - 2). Параметр является значимым, если эмпи­рическое значение t больше табличного, t_paсч > t_табл. Для оценки адекватно­сти модели связи и значимости параметров строим вспомогательную таблицу 2:

 

Таблица 2. - Расчетные значения для вычисления дисперсии

№ предприятия	х	у
	6,0 7,2 8,5 10,0 12,1	2,0 4,0 5,0 7,0 8,0	-0,492 0,331 0,056 0,584 -0,476	0,2421 0,1096 0,0031 0,3410 0,2266
-	43,8	26,0	-	0,9224

 

Остаточная дисперсия:

Факторная дисперсия:

Эмпирическое значение критерия Фишера:

Табличное значение F_T при α = 0,05 и числе степеней свободы (2 - 1), (5 - 2) равно 10,18. Следовательно, F_Э > F_T, и уравнение связи можно при­знать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии;

Расчетные значения t - критерия:

По таблице распределения Стьюдента для числа степеней свободы v = п - 2 = 5-2 = 3находим критическое значение t - критерия (при α= 0,05, v = 3): t_ma6л = 3,182. Следовательно, t_paсч > t_табл, и оба параметра а₀ и а₁ являются значимыми, а не результатом стечения случайных обстоятельств. Вычислим теоретическое корреляционное отношение ηпо расчетам вычислений табл. 1 и 2: Вначале вычислим коэффициент детерминации:

Из предыдущих вычислений

Это значит, что 96% от общей вариации производительности труда в изучаемой бригаде обусловлено вариацией электровооруженности рабо­чих, и только (100 - 96) = 4% нельзя объяснить изменением изучаемого фактора, т.е. оказывают влияние прочие, неучтенные факторы.

Теоретический коэффициент корреляции что указывает на тесную связь между признаками х и у.

Таким образом, построенная регрессионная модель зависимости вы­работки рабочих от электровооруженности = -3,394 + 0, 981х может быть использована для анализа и прогноза. Для расширения возможностей экономического анализа и удобства интерпретации параметра а₁ используют коэффициент эластичности.

Он характеризует количественную зависимость между признаками. Признаки могут рассматриваться по фактическим и теоретическим уров­ням. Коэффициент эластичности исчисляется в абсолютных и относитель­ных величинах по формулам:

Определить абсолютную и относительную эластичность между 3 и 4 предприятиями по исходным данным. Сделать оценку эластичности.

тыс.р.

Увеличение на 4 предприятии по сравнению с 3 электровооруженно­сти на 1 чел. на 1 кВт/ч увеличило выработку на 1333 р.

Увеличение на 4 предприятии по сравнению с 3 электровооруженно­сти на 1 % увеличило выработку на 2,27%

Он показывает средние изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на 1% и вычисляется по формуле (в %):

Для рассматриваемого примера из предыдущих вычислений т.е. при увеличении электровооруженности рабо­чих на 1 % следует ожидать повышения производительности труда на 1,65%.

Данный вывод справедлив только для изучаемой совокупности при конкретных условиях работы. Если данная совокупность и условия работы типичны, то коэффициент регрессии может быть использован для нормирования и планирования производительности труда рабочих.

Спрогнозируем значение выработки, если электровооруженность бу­дет равна 15,0 кВт/ч на одного рабочего.

Подставляем значение х = 15,0 в уравнение регрессии:

При электровооруженности труда 15,0 кВт/ч на одного рабочего вы­работка должна составить 11321 р.